线性递推与矩阵快速幂-优快云博客

本文介绍了一种利用矩阵快速幂优化长整数线性递推问题的方法，并给出了一段 C++ 代码实现。该方法适用于计算形如 f[n]=f[n-1]*10^k+n 的递推序列模特定数值的问题。

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题目大意：输入n,m，计算123456…n%m

题解：递推式： $f[n]=f[n-1]*10^k+n$

A= $\left[ \begin{matrix} f_{i-1} & i-1 & 1 \\ \end{matrix} \right]$

B= $\left[ \begin{matrix} 10^k & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right]$

C= $\left[ \begin{matrix} f_{i} & i & 1 \\ \end{matrix} \right]$

C=AB，分段矩阵乘法

我的收获：常系数线性递推……

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

#define rep(x,y) for(int x=0;x<y;x++)
const int N=3;

ll n,P;

struct Matrix{
    int x,y;ll v[N][N];
    ll *operator [] (int x){return v[x];}
    Matrix(int _x,int _y,int w=0){
        x=_x,y=_y;
        rep(i,N) rep(j,N) v[i][j]=(i==j)?w:0;
    }
};

Matrix operator * (Matrix a,Matrix b){
    Matrix c(a.x,b.y);
    rep(i,a.x) rep(j,b.y) rep(k,a.y) c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*b[k][j])%P;
    return c;
}

Matrix operator ^ (Matrix a,ll b){
    Matrix c(a.x,a.y,1);
    for(;b;b>>=1,a=a*a)
    if(b&1) c=c*a;
    return c;
}

Matrix ans(1,3),b(3,3);

void work()
{
    for(ll i=10;;i*=10)
    {
        b[0][0]=i%P;
        ll c=i<=n?(i/10*9):(n-i/10+1);
        ans=ans*(b^c);
        if(i>n) break;
    }
    printf("%lld\n",ans[0][0]);
}

void init()
{
    cin>>n>>P;
    ans[0][2]=1;
    for(int i=0;i<N;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
            b[i][j]=1;
}

int main()
{
    init();
    work();
    return 0;
}