智能机器人与旋量代数（10）

3.2 旋量

3.2.1 直线几何与Plucker坐标

1. 点的齐次坐标：

在笛卡尔坐标系中，空间中点$P$的坐标为$(X,Y,Z)$.
令
$$X=\frac{x}{w},Y=\frac{y}{w},Z=\frac{z}{w}$$
我们可以发现空间上每一点$P$就可以用4个数$x,y,z,w$表示了，这种形式就称为点的齐次坐标。

在三维射影空间$P^3$中，点的齐次坐标一般表示为$(x,y,z,w)$或者$(x;x_0),x\in R^3,x_0\in R$，或者写成相对值的形式$(\frac{x}{w},\frac{y}{w},\frac{z}{w},1)$或$(X,Y,Z,1)$.

2. 平面的齐次坐标:

在三维射影空间$P^3$中，平面的线性齐次方程形式为:
$$tx+uy+vz+sw=0$$
其中，$(x,y,z,w)$表示平面内一点的齐次坐标；而$(t,u,v,s)$表示平面的齐次坐标，其中$(t,u,v)$表示平面的法向量。因此，平面的齐次坐标可以表示为$(t,u,v,s)$或者$(u;u_0),u\in R^3,u_0\in R^3$

由此，我们发现在三维射影空间$P^3$中，点和平面的表示形式完全一样，这构成了射影几何中对偶原理的基础。

3. 直线的齐次坐标：

在三维射影空间$P^3$中表示直线有两种方法：一种税两点连线（对应两点进行“并”运算）；另一种是两个平面的交线（对应两平面进行“交”运算），它们相互对偶。
$$L=X\cup Y:=(x_{0}y-y_{0}x;x\times y)=(l;l_0)\in R^6$$

$$L=U\cap V:=(u\times v;u_{0}v-v_{0}u)=(l_0;l)\in R^6$$
为此，Plucker(1865) 定义了直线的两种坐标：射线坐标与轴线坐标。

(1). 射线坐标：两点连接而成的直线坐标，其Plucker坐标为$(L,M,N;P,Q,R)$.

(2). 轴线坐标：两平面相交而成的直线坐标，其Plucker坐标为$(P,Q,R;L,M,N)$.

这些参数可由齐次坐标的行列式给出，请参见丁希仑教授教材与戴建生院士教材，这边懒得打字了。

定义3.1 如果空间一个向量被约束在一条空间位置确定的直线上，则这个被直线约束的向量称为线矢量(line vector).

接下来研究线矢量的运算。

定义3.2 线矢量的代数和：如果$S_1,S_2$共面，那么$S_{\sum }=S_1+S_2$仍为线矢量，满足平行四边形法则。

定义3.3 线矢量平行：若$S_1,S_2$平行，则$S_{\sum }=S_1+S_2$仍为线矢量，且与$S_1,S_2$平行。

定义3.4互易积（reciprocal product)
$$S_1\cdot S_2=s_1{s}_0^2+s_2{s}_0^1=L_1{P}_2+M_1{Q}_2+N_1{R}_2+L_2{P}_1+M_2{Q}_1+N_2{R}_{!}$$

可得推论：

a.两线矢量共面当且仅当互易积为0.

b.任意线矢量对自身的互易积为0.