Pluecker coordinates普吕克坐标系介绍

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本文介绍了普吕克坐标系的基本概念及其在三维空间中线的表示方式，详细阐述了其几何意义及代数表示方法，并探讨了在光线追踪等应用中的作用。

最近在看光场拼接的论文时，在拼接之前需要将两个光场进行配准（Registration），将光场转换到Pluecker坐标系下，这样做有两个好处：1.在Pluecker坐标系中描述光线，投影到均匀光场坐标中是一个线性映射 2. 3D场景中的点在4D光场中是一个二维的线性子空间，因此可以在第一和第二个光场中产生线性约束。将光场转换到Pluecker坐标系下的论文还有《On linear structure from motion for light field cameras》

在这里我就介绍一下普吕克坐标系
普吕克坐标是三维空间中有向线的表示，每一个3D有向线对应于6D普吕克空间中均匀点（换句话说，5D空间中的非均匀点）。我们需要这么多的维度是有意义的，因为3D点对定义线，但是我们可以降低一个维度，通过实现线的定义：（0，0，0）到（1，1，1）和（0，0，0）到（2，2，2）是相通的一根线，只是比例因子不同。
一丶集合直观表示
这里写图片描述
三维欧几里德空间中的线L由它包含的两个不同点或包含它的两个不同平面确定。考虑第一种情况，点x =（x1，x2，x3）和y =（y1，y2，y3），从x到y的矢量位移是非零的，因为点是不同的，并且表示线的方向，也就是说，L上的点之间的每个位移是d = y-x的标量倍数，如果单位质量的物理粒子从x移动到y，它将有一个关于原点的矩，几何等价物是方向垂直于包含L和原点的平面的矢量，其长度等于由位移和原点形成的三角形的面积的两倍，将点作为从原点的位移处理，矩为m = x×y，其中“×”表示矢量交叉乘积。对于固定线L，三角形的面积与x和y之间的段的长度成比例，被认为是三角形的基础;通过沿着与平行于其自身的线滑动基座而不改变它。根据定义，力矩矢量垂直于沿着线的每个位移，因此d•m = 0，其中“•”表示矢量点积。
尽管单独的d和m都不足以确定L，但是该对一起独特地执行，直到取决于x和y之间的距离的公共（非零）标量倍数。就是坐标(d:m) = (d1:d2:d3:m1:m2:m3)可以认为是L的均匀坐标，在这个意义上，对于λ≠0的所有对（λd：λm）可以由L和L上的点产生，并且任何这样的对确定唯一的行，只要d不为零，d•m = 0。此外，这种方法延伸到在投影几何的意义上包括点，线和“无穷远”的平面。
例。令x =（2,3,7）和y =（2,1,0）。然后（d：m）=（0:-2:-7:-7:14:-4）。
或者，让含有L的两个不同平面的点x的等式
0 = a + a•x
0 = b + b•x
那么它们各自的平面垂直于向量a和b，并且L的方向必须垂直于两者。因此，我们可以设置d = a×b，它是非零的，因为a和b既不为零也不平行（平面不同且相交）。如果点x满足两个平面方程，则它也满足线性组合
0 = a (b + b•x) − b (a + a•x)
= (a b − b a)•x .
也就是说，m = a b - b a是垂直于从原点到L上的点的位移的矢量; 事实上，这是与a和b以前定义的d一致的矩。
例。令a0 = 2，a =（-1,0,0）和b0 = -7，b =（0,7，-2）。然后（d：m）=（0:-2:-7:-7:14:-4）。
虽然通常的代数定义倾向于模糊关系，（d：m）是L的Plücker坐标。

二丶代数表示
1）原始坐标
在三维投影空间P3中，让L成为具有均匀坐标（x0：x1：x2：x3）和（y0：y1：y2：y3）的不同点x和y的直线。 Plücker坐标pij定义如下：

这意味着pii = 0和pij = -pji，减少了只有六（4选择2）独立量的可能性。六位六合
这里写图片描述由L唯一确定，达到常见的非零比例因子。此外，并非所有六个组件都可以为零。因此，如结肠符号所示，L的Plücker坐标可以被认为是5维投影空间中的点的均匀坐标。
为了看这些事实，让M是4×2矩阵，其中点坐标为列。
这里写图片描述
Plücker坐标pij是M的行i和j的行列式。由于x和y是不同点，M的列是线性独立的; M具有等级2.令M’是第二个矩阵，列x’和y’在L上是不同的一对不同点。然后M’的列是M的列的线性组合; 所以对于一些2×2非奇异矩阵Λ，
这里写图片描述
特别地，M’和M的行i和j相关

因此，左侧2×2矩阵的行列式等于右侧2×2矩阵的决定因子的乘积，后者是固定标量detΛ。此外，由于M的等级为2，所以M中的所有六个2×2子确定不能为零。

2）Pluecker map（普吕克映射）
用G1,3表示P3中所有行（P1的线性图像）的集合。因此我们有一张地图：
这里写图片描述
其中

3）双重坐标
或者，一条线可以描述为两个平面的交点。令L分别包含具有均匀系数（a0：a1：a2：a3）和（b0：b1：b2：b3）的不同平面a和b的线。（例如，第一平面方程为这里写图片描述）。双Plücker坐标pij为：，双坐标在一些计算中是方便的，它们等同于主坐标：

这里，均匀坐标中的两个向量之间的相等意味着右侧的数字等于左侧的数字直到某些常用缩放因子λ{\ displaystyle \ lambda} \ lambda。具体来说，令（i，j，k，l）为（0,1,2,3）的均匀置换; 然后
这里写图片描述

4）几何
为了与几何直觉相关，将x0 = 0作为无限远的平面; 因此不能在无穷远处的点的坐标可以被归一化，使得x0 = 1 这里写图片描述
并设置x =（x1，x2，x3）和y =（y1，y2，y3），我们有d =（p01，p02，p03）和m =（p23，p31，p12）。

我们有d =（p23，p31，p12）和m =（p01，p02，p03）。

三丶普吕克坐标的使用
Plücker坐标允许在三维空间中的线几何问题的简明解决方案，特别是涉及射线的几何。这或许是光场转换到普吕克坐标的一个重要原因。
1）线之间的交叉
P3中的两条线是偏斜或共面的，在后一种情况下，它们在一个独特的点上是重合的或相交的。如果pij和p’ij是两个n的Plücker坐标，则当d⋅m’+m⋅d’= 0时，它们是精确共面的，如
这里写图片描述
当线条偏斜时，结果的符号表示交叉感：如果右旋螺丝将L插入L’，则为正，否则为负。
二次Plücker关系本质上表示一条线与其自身共面。

2）线与线之间的连接
在两条线共面但不平行的情况下，它们的共面有方程式：
这里写图片描述
要处理不符合此限制的行，请参阅参考。

3）平面与线
给出一个平面方程
这里写图片描述
或更简洁地; 并且给出一条不在其中的线与Plücker坐标（d：m），那么它们的交点是：

点坐标（x0：x1：x2：x3）也可以用Plücker坐标表示：

4）点与线
给出一个点（y0：y）和不包含它的行，它们的共面有方程
这里写图片描述
平面坐标（a0：a1：a2：a3）也可以用双Plücker坐标来表示：

5）光线追踪
线形几何被广泛用于光线跟踪应用，其中光线的几何和交点需要以3D计算。 Thouis Jones为Ray Tracing论坛编写的Pluecker Coordinates简介中介绍了一个实现。