【算法概论】FAS问题与顶点覆盖问题

题目出自《算法概论》的第八章8.22

问题描述：
Given a directed graph $G = (V, E)$, a subset $E' \in E$ is called a feedback arc set if the removal of edges $E'$ renders $G$ acyclic.
FEEDBACK ARC SET(FAS): Given a directed graph $G=(V,E)$ and a budget $b$, find a feedback arc set of $<=b$ edges, if one exists.
FAS can be shown to be NP-complete by a reduction from VERTEX COVER.
(a) Show that FAS is in NP.
(b) Show that if $G$ contains a vertex cover of size $b$, then $G'$ contains a feedback arc set of size $b$.
(c) Show that if $G'$ contains a feedback arc set of size $b$, then $G$ contains a vertex cover of size (at most) $b$.
$G=(V,E)$ has $n$ vertices $v_1, ..., v_n$, then make $G'=(V',E')$ a directed graph with $2n$ vertices $w_1, {w_1}',...,w_n, {w_n}'$, and $n+2|E|$ (directed) edges:

• $(w_i, {w_i}')$ for all $1,2,...,n$.
• $(w_i, {w_j}')$ and $(w_j, {w_i}')$ for every $(v_i, v_j)\in E$.
  值得注意的是，$G$为无向图，$G'$为有向图。

问题解析：
(a) 问题a需要证明FAS是一个NP问题。首先介绍一下P问题，NP问题，以及NP完全问题(NPC, NP - Complete).

• P问题(Polynomial Problem)即可以在多项式时间内解决的问题。
• NP问题(Non-deterministic Polynomial Problem), 即不确定是否能在多项式时间内解决，但可以在多项式时间内验证一个解的问题。
• NPC问题：如果所有的NP问题能够在多项式时间内规约为某个NP问题，那么这个NP问题被称为NPC问题。

我们不确定FAS问题是否能在多项式时间内得到一个解，需要证明在多项式时间内验证一个解$E'$是否是FAS的解。
有如下验证：

1. 判断$|E'|<=b$
2. 判断对于有向图$G=(V,E)$, $G-E'$ 无环。判断一个有向图是否存在环的算法为：对每个未访问过的顶点做一个DFS(深度优先搜索)，标记已经访问了的顶点，若一个正在访问的顶点为一条有向边的起点，一条已经访问了的顶点为该有向边的终点，则图$G$有环。访问所有顶点后，若未判定图$G$有环，则图$G$无环。算法的时间复杂度为$O(|E| + |V|)$.

以上验证的方法可以在多项式时间内完成，因此FAS问题为NP问题。

(b) 证明如果$G$包含一个顶点覆盖$S$, 其中$|S|=b$, 那么$G'$包含一个FAS(反馈弧集合)，该集合的大小为$b$.
首先我们以一个简单的例子来观察$G'$的构造。
图$G$：
图$G'$：

对于$G$中的每个顶点$v_i$，$G'$中对应着有向边.
对于$G$中的每对相连的两个顶点$(v_i, v_j)$，$G'$中对应着有向边 和 ，可以记这两条有向边为斜边。

可以看到，$w_i, i = 1,2,...,n$的出度为1，${w_i}', i = 1,2,...,n$的入度为1.
并且若$G$中的$v_i, v_j$两个顶点相连，则在$G'$中形成一个有向环：$w_i -> {w_i}' -> w_j -> {w_j}' -> w_i$.

当$G$包含一个大小为$b$的顶点覆盖$S$时，$G'$的大小为$b$的FAS构造方式为：
$FAS = \{<w_i, {w_i}'> for\ every \ v_i \in S\}$
可以看到， $|FAS| = |S| = b$.

对于每个$v_i \in S'$, ，得到一个新图$U' = G' - <w_i, {w_i}'>$. 图$U'$中，由于$w_i$的出度变为0，因此以$w_i$为端点的边不会在任意一个有向环中。同理，由于${w_i}'$的入度变为0，以${w_i}'$为端点的边也不会在任意一个有向环中。

由于$G$中的每条边$(v_i, v_j)$都有一个顶点$v_i$或者$v_j$在顶点覆盖集$S$中，$(v_i, v_j)$对应着$G'$的有向环$w_i -> {w_i}' -> w_j -> {w_j}' -> w_i$. 若$v_i\in S$, 图$G'$中以$w_i$或${w_i}'$为端点的有向边不在环中；若$v_j\in S$, 图$G'$中端点为$w_j$或${w_j}'$的有向边不在环中。对于图$G'$中的每条斜边，在顶点覆盖集中有$v_i\in S$或$v_j\in S$, 因此当FAS的构造方式为$FAS = \{<w_i, {w_i}'> for\ every \ v_i \in S\}$时，所有的和都不在有向环中（所有斜边都不在环中）。$G'-FAS$无有向环。

因此，如果$G$包含一个大小为$b$的顶点覆盖$S$, 那么$G'$包含一个大小为$b$的FAS(反馈弧集合)，得证。

(c) 证明假如$G'$有一个集合大小为$b$的FAS，那么$G$有一个大小不超过$b$的顶点覆盖$S$。
在(b)中可以看到，如果$G$包含一个大小为$b$的顶点覆盖$S$，那么$G'$包含一个大小为$b$的FAS.
说明这里的FAS可能包含斜边以外的边，即$<w_i, {w_i}'>$类型的有向边。

对于图$G$中任意一条边$e = (v_i, v_j)$，其对应$G'$中的一个有向环：$w_i -> {w_j}' -> w_j -> {w_i}' -> w_i$，该有向环由四条有向边 构成。
要使得$G-FAS$中无环，则中至少有一条边属于FAS，该条边的其中一个端点为$w_i$或$w_j$。

因此，顶点覆盖集$S$的构造方式为：
初始化$S$为空集
对FAS中的每一条边（每一条边都形如）

1. 若这条边有一个端点为$w_i$, 则将$v_i$加入到顶点覆盖集$S$中；
2. 若这条边有一个端点为$w_j$, 则将$v_j$加入到顶点覆盖集$S$中。

条件1和条件2至少满足一条，若同时满足两条规则，那么任选一条执行。

该构造方式显然有$|S|<=b$，并且任意一条边$e = (v_i, v_j)$都有一个顶点在顶点覆盖集中。命题c得证。