这篇博客主要探讨了NP完全问题，包括子图同构、最长路径、最大SAT等问题的NP完全性证明。通过将这些问题与已知的NP-完全问题进行比较和推广，阐述了它们之间的联系。例如，子图同构问题可以视为Rudrata回路的推广，最长路径问题在特定条件下转化为Rudrata路径，最大SAT问题与SAT紧密关联，稠密子图和稀疏子图问题分别与最大团和最大独立集问题相关。此外，还介绍了集合覆盖和可靠网络问题的NP完全性质。最后，提到了一种从顶点覆盖问题构造FAS（反馈边集）的方法，以及如何通过FAS来解决最大顶点覆盖问题。
8.10利用推广的方法证明NP-完全性。对以下每个问题，通过证明它是本章某个NP-完全问题的推广说明它是NP-完全的。
（a）子图同构：给定两个作为输入的无向图G和H，判断G是否为H的一个子图（即删了H中的某些顶点和边后，得到的新的图最多只要再修改某些顶点的名字，便可与G相同），且如果是，返回由V（G）和V（H）的相关映射。
（b）最长路径：给定图G和整数g，求G中一条长为g的简单路径。
（c）最大SAT：给定一个CNF公式和整数g，求满足其中至少g个子句的真赋值。
（d）稠密子图：给定一个图和两个整数a和b，求G中的a个顶点，使得它们之间最少有b条边。
（e）稀疏子图：给定一个图和两个整数a和b，求G中的a个顶点，使得他们之间最多有b条边。
（f）集合覆盖。（该问题衍变出了两个著名的NP-完全问题）
（g）可靠网络：给定两个nxn矩阵，一个距离矩阵dij，一个连接需求矩阵rij以及预算b。我们要求一个图G=（{1，2……，n}，E）使得：（1）其中所有边的总代价不超过b；（2）在任意两个不同顶点i和j之间，存在rij条顶点互不相交的路径。（Hint：假设所有的dij都为1或2，b=n，所有的rij=2.）
答案：
（a）Rudrata回路事实上是子图同构的问题。我们先令图G为一个环，环上的顶点数等于图H的顶点数。如果G是H的同构的子图，则说明H存在Rudrata回路。所以Rudrata回路事实上是子图同构的问题。
（b）只要设g=|V|-1，就可得到一条Rudrata路径。
（c）设g=子句的总数目，便是SAT。
（d）若为最大团问题，我们可以设b=a*（a-1）/2,此时，这a个顶点两两相连。
（e）设b=0，便可得到最大独立集问题。
（f）可以看作是最小顶点覆盖的一个推广
（g）假设所有的dij都为1或2，b=n，所有的rij=2。此特例即为一个TSP。
8.22
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