算法概论习题 8.22 NP-完全问题证明

这篇博客详细解答了算法概论中的8.22题,涉及反馈弧集(FAS)问题。内容包括:(a)证明FAS是NP完全的,通过顶点覆盖的减少;(b)证明如果图G有一个大小为B的顶点覆盖,G0就包含一个大小为B的反馈弧集;(c)证明如果G0包含大小为B的反馈弧集,G则包含一个大小最多为B的顶点覆盖。解答过程中通过构造有向图并分析环的性质来阐述证明过程。

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题目:8.22

问题描述: 在任务调度,它常常可以用图进行每个任务的节点和有向边的任务我的任务,如果我是一个先决条件J.这个有向图描绘的优先约束的调度问题。显然,当且仅当图是循环的时,调度是可能的;如果它不是,我们想确定必须丢弃的最小数量的约束,以便使其循环。

给定一个有向图G =(V,E),子集E0⊆E称为反馈弧集如果边E0呈现G环的去除。

反馈弧集(FAS):给定一个有向图G =(V,E)和预算B,和反馈弧集≤B边,如果存在。

(a)证明 FAS是NP的

(b)证明,如果G包含一个大小B顶点覆盖,然后G0包含反馈弧集尺寸B.

(c)证明如果G0包含反馈弧集大小B,则G包含一个大小为顶点覆盖(最多)B(提示:给出一个反馈弧在G0,大小B组你可能需要fiRST稍微修改一下获得另一个人这是一个更方便的形式,但该相同或更小的尺寸。然后,认为G必须包含一个顶点覆盖的大小相同的莫迪fiED反馈弧集。)



问题解答:

(a)FAS可从顶点覆盖的减少证明是NP完全。给出了一个实例(G,B)的顶点覆盖,其中G是一个无向图,

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