计算复杂度NPC：组合优化问题的近似算法-顶点覆盖问题

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本文探讨了组合优化问题中的顶点覆盖算法和旅行商问题(TSP)的近似解法，通过构造最小生成树实现TSP的2-约简，重点介绍了一个基于边独立集的顶点覆盖算法，展示了如何达到近似率2的效率。

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组合优化问题的近似算法

$当问题规模为n,近似率ρ(n)满足：max(CC∗,C∗C)≤ρ(n)当问题规模为n,近似率\rho(n)满足：max(\frac{C}{C^*},\frac{C^* }{C})\leq \rho(n)$

顶点覆盖问题

$图的覆盖是一些顶点 (或边) 的集合，使得图中的每一条边 (每一个顶点) 都至少接触集合中的一个顶点 (边) 。$

一个顶点覆盖问题的解法

$=\phi \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ E' =E \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ while E'\neq \phi \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ V=V\cup(u,v) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ E' 除去与u或v关联的边 \\ return \ \ V \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ |V|=2*挑出的边数$
开始时令V’= 0.任取一条边(u,v), 把u和v加入V’并删去u和v及其关联的边.重复上述过程，直至删去所有的边为止.

$设A是每次从E中挑出的边,A互不关联\\ \color{red} 则|V^*|\geq |A|，A边数不会共顶点,\\ 最少需要A个顶点才能覆盖挑出的边\color{black}\\ \therefore |V|=2|A| \leq 2|V^*| \\ 近似度为2\\$

TSP 问题

对于将要TSP遍历的完全图，构造图的最小生成树，走FULL WALK 走两次最小生成树，是一条旅行路线。

$2生成树最优的\ 2生成树$

在这里插入图片描述

王晓东《算法设计与分析》第二版
https://baike.so.com/doc/5688800-5901497.html
顶点覆盖问题https://www.cnblogs.com/cy0628/p/14016608.html