FAS问题

题目：来自《算法概论》8.22

解：

（a）判断一个问题是不是NP问题，要看所给出的实例能不能在多项式时间内验证出来。

         在这道题中，我们需要验证一个解E'是不是FAS的解。判断条件如下：

        （1）|E'|<=b

        （2）G-E'是一个无环图

第二个条件可以通过对于每个未访问过的点做DFS。点的状态分为三种：未访问、正在访问和已访问完该点所能到达的所有节点。如果一个点在做DFS的过程中访问到一个正在访问的点，说明存在环，否则无环。这个算法的复杂度为O（|V|+|E|）。

所以，FAS是NP问题。

（b）当G包含一个大小为b的顶点覆盖S时，G′的大小为b的FAS构造方式为： FAS={( wi , wi′ )，对于每一个vi∈S} 。|FAS|=b。

G中的每一条边( vi , vj )对应着G'中的一个有向环：wi−>wi′−>wj−>wj′−>wi。

现在要证明G'-FAS后是一个无环图：

对于顶点 wi 和 wi' ，当去掉边 ( wi , wi' )后，所有以 wi 为端点的边都不可能位于任何一个环中，因为 wi 出度为0，而一个有向环里面的点出度和入度不能为0，同样，所有以

wi' 为端点的边也不可能位于任何一个环中，因为 wi' 的入度为0。

（c）设 vi 和 wi，wi' 对应；vj 和 wj，wj' 对应。G中的每一条边( vi , vj )对应着G'中的一个有向环：wi−>wi′−>wj−>wj′−>wi。若 E' 是 G' 的一个大小为 b 的FAS，那么在构成这个环的四条边中至少有一条边e属于E'，否则就会形成环。而边e必然有个端点是 wi 或者 wj。

如果e的端点是wi，那么就将vi加入G的顶点覆盖集S中。

如果e的端点是wj，那么就将vj加入G的顶点覆盖集S中。

这样得到的S的大小<=b，而且对于每条边( vi, vj )都保证有一个点加入S中。