P12415 「YLLOI-R1-T4」枫绿题解-优快云博客

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Part0. 前言

好简单的 Div.3 T4。

Part1. 题意

给定一个 $n\times m$ 的网格图，在其中构建一棵有根树，使得父节点一定在子节点上方，求可构建多少棵不同的有根树。

Part2. 思路

对于点 $A (i, j)$ ，我们发现只要点 $B (x, y)$ 满足 $x < i$ ，即可将 $B$ 作为 $A$ 的父节点。根据这一性质，我们发现对于第 $i$ 行的所有点， $1\sim i-1$ 行的所有点均可作为其父节点，而不用管位置关系。

因此，可设 $f_{i,j}$ 表示当前考虑第 $i$ 行、第 $1\sim i$ 行共有 $j$ 个点在树上。因为每一行都能作为根节点所在的行，所以初始时 $f_{i,1}=m$ 。

考虑转移。对于第 $i$ 行、第 $1\sim i-1$ 行共有 $j$ 个点在树上、第 $i$ 行有 $k$ 个点在树上的情况， $f_{i,j+k}$ 由 $f_{i-1,j}$ 转移而来、第 $i$ 行的 $k$ 个在树上的点可任选、其父节点也可任选，我们得到转移方程：

$f_{i,j+k}=\sum\limits_{j=0}^{1+(i-2)\times m}\sum\limits_{k=0}^{m} f[i-1][j]\times\binom{m}{k}\times j^k$

最终答案为 $\sum\limits_{i=1}^{n\times m} f_{n,i}$ 。

Part3. 解释

枚举时 $1\le j\le 1+(i-2)\times m$ 是因为 $1\sim i-1$ 行必有一行只有一个根节点，其它行不定，所以不用枚举至 $(i-1)\times m$ 。

Part4. 代码

为和思路保持一致，使用赛后修改的代码。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

namespace rab {
    const int N=81,mod=1e9+7;
    int n,m,ans,c[N][N],f[N][N*N];
    long long g;

    inline int ksm (int x,int y,int z=mod) {
        int rs=1;
        while (y) {
            if (y&1) rs=1ll*rs*x%z;
            x=1ll*x*x%z,y>>=1;
        }
        return rs;
    }

    inline int main () {
        cin>> n>> m;
        for (int i=0;i<=m;i++) {
            c[i][0]=1;
            for (int j=1;j<=i;j++)
                c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
        }
        for (int i=1;i<=n;i++) f[i][1]=m;
        for (int i=2;i<=n;i++) {
            for (int j=0;j<=1+(i-2)*m;j++) {
                for (int k=0;k<=m;k++) {
                    g=1ll*f[i-1][j]*c[m][k];
                    if (g>=mod) g%=mod;
                    g=1ll*g*ksm (j,k);
                    if (g>=mod) g%=mod;
                    f[i][j+k]=(f[i][j+k]+g)%mod;
                }
            }
        }
        for (int i=1;i<=n*m;i++) ans=(ans+f[n][i])%mod;
        cout<< ans;
        return 0;
    }
}

int main () {
    ios::sync_with_stdio (0);
    cin.tie (0);cout.tie (0);
    return rab::main ();
}