博弈论SG函数

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原创最新推荐文章于 2026-04-25 09:56:09 发布 723 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

【博弈论】势博弈（potential game）、EPG以及最佳响应、Nash均衡和帕累托（pareto）最优的理解文章目录前言一、Potential game二、Nash均衡和Pareto-optimal（帕累托最优）1.Nash 均衡2.Pareto最优三、Best response（最佳响应）四、Exact potential game(EPG)1.合作-傀儡博弈2.合作博弈3.傀儡博弈4.自激博弈5.双边对称交互博弈使用理解前言本文主要详细讲解potential game的概念以及Exact potential game 的定义和分类，以及这么博弈方法是如何在论文中引入并使用的，本文仅是对自己在该模块阅读详情

参考:
http://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6398385.html
http://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6921829.html

巴什博奕

只有一堆石子，每个人可以从里面取1~m个石子，先取光者胜。

当 $n = m + 1$ 先手必败，因为先手无论选什么，都会使其个数小于m。

因此可以推出更一般的情况:
$n = k * (m + 1)$ 先手必败，因为后手总能构造出 $\ t < k$ 的情况。

总结: 只要能构造出两个可以相互转换的状态便可得出答案。（必胜态，必败态）。

尼姆博弈

有n推石子，每堆有$m_i$个石子，每次可以取在一堆中取任意个石子。

学着巴什博奕做，构造两个可以相互转换的状态。

把每堆石子的总个数用二进制的形式相加。每位都不进位。
例如:
1 2 3
001
010
011

= 022

因为每次都只能在一堆石子上操作，所以对于每一位，每次只能减1或者不变。可以观察出，当所有位都为偶数的时候(偶状态)，先手必败，当有一位为奇数(奇状态)的时候先手必胜。

因为总能从一个奇状态转变为一个偶状态。反之，也能从一个偶状态转变为奇状态。 但无法保持当前状态不变。

考虑异或，当一位出现偶数个时，其贡献为0，否则为1。
所以可以将每一堆的个数都异或起来，如果异或和!=0，则先手胜，否则先手败。

有n推石子，每堆石子的个数分别为1,2,3,4,....,n，每次可以取在一堆中取任意个石子。n特别大。

因为n特别的大，所以没法直接对其异或。但是连续正整数的异或是有规律的。
f[l,r]: $[l, r]$ 的异或和
推论1: $f[0,2^k-1]=0, 2 \leq k$
XJB证明: 二进制的每一位上都有 $2^{k-1}$ 个1。

求 $f [0, n]$ 。

n为奇数
$f[0,2^{t}-1] \oplus f[2^t,n] =f[2^t,n]$ 。
这个区间有 $m = n-2^t+1$ 个数，m为偶数，所以对于二进制第t位1的个数和一定为偶数，可以不用考虑。转变为:
$f[2^t,n] = f[0,n-2^t]$
因为n为奇数， $2^t$ 一定为偶数。所以 $n-2^t$ 是一个奇数，所以可以不断缩小n。
$f[0,n-2^t] = f[0,n-2^t-k_1*2^{t-1}-k_2*2^{t-2} \dots -k_i*2](2 \leq t)。= f[0,p](p\leq3)$ ， $k_i$ 代表这一位是否有值。
因为t要大于等于2，所以只要单独考虑最后两位的情况。
n&3 = 1 (01) 时， $f [0, n] = f [0, 1] = 1$ 先手胜
n&3 = 3 (11) 时， $f [0, n] = f [0, 3] = 0$ 先手败
n为偶数
$f[0,2^t-1] \oplus f[2^t,n]=f[2^t,n]$
$m=n-2^t+1$ 为奇数， $f[2^t,n]=f[0,n-2^t]\oplus2^t$ 。
$n-2^t$ 还是偶数，依旧可以缩小n
$f[0,n-2^t-k_1*2^{t-1}-\dots-k_i*2]\oplus2^t\oplus k_1*2^{t-1}\dots \oplus k_i*2$
后面的常数项异或和就是n，
n&3 只有2或者0
n&3 = 2(10)时， $f [0, n] = n + f [0, 2] = n + 1$
n&3 = 0(00)时， $f [0, n] n + f [0, 0] = n$

SG函数

定义mex{S}运算: 不在集合S中最小的非负整数。
例如: mex{0,2,3,4}=1，mex{1,2,3,4}=0。

对于任意状态x， $SG(x) = mex\{S\}$ ，S是x后继状态SG函数值的集合。
若x的后继三个SG函数值为 $S G (a) ， S G (b) ， S G (c)$ ，那么 $SG(x) = mex\{ SG(a), SG(b), SG(c) \}$ 。

当x时终态时，后继状态为空， $S G (x) = 0$ ，即为必败态。

有1堆n个的石子，每次只能取{ 1, 3, 4 }个石子，先取完石子者胜利，
那么各个数的SG值为多少？

SG(0) = 0, f[ ] = {1,3,4}

x = 1时，可取1个，剩余0个，SG(1) = mex{ SG(0) } = 1。
x = 2时，可取1个，剩余1个，SG(2) = mex{ SG(1) } = 0。
x = 3时，可取1个或3个，剩余2个或0个，SG(3) = mex{ SG(2), SG(0) } = 1。
x = 4时，可取1，3，4，剩余3，1，0，SG(4) = mex{ SG(3), SG(1), SG(0) } = 2。

可以发现，SG函数可以从小到大递推而来。

由上述实例我们就可以得到SG函数值求解步骤，那么计算1~n的SG函数值步骤如下：