博弈论之sg函数

SG函数是用于解决博弈论中公平组合游戏（Impartial Combinatorial Games，ICG）问题的一种方法。

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所谓ICG，应当满足以下几条性质：

1. 有两名玩家
2. 两名玩家轮流操作，在一个有限集合内任选一个进行操作，改变游戏当前局面
3. 一个局面的合法操作，只取决于游戏局面本身且固定存在，与玩家次序或者任何其它因素无关
4. 无法操作者，即操作集合为空，输掉游戏，另一方获胜[1]

最简单的ICG当然就是经典的Nim游戏了：

地上有 n 堆石子，每堆石子数量可能不同，两人轮流操作，每人每次可从任意一堆石子里取走任意多枚石子，可以取完，不能不取，无石子可取者输掉游戏，问是否存在先手必胜的策略。

之后我们会多次以Nim游戏举例。

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对于ICG，我们定义一个函数 sg(x) ，令 sg(x):=mex({sg(y)|x→y}) 。其中， x 和 y 都表示某种状态， x→y 在这里表示 x 状态可以通过一次操作达到 y 状态， mex 表示一个集合中未出现的最小自然数（例如 mex({0,1,3})=2 ，经常打cf的人应该对这个函数比较熟悉）。如果 sg(x)=n ，说明从当前状态可以转移到 sg 为 0,1,…,n−1 的状态。

我们称令 sg(x)=0 的状态 x 为必败态。显然，如果 x 是无法操作的状态（即 {sg(y)|x→y}=∅ ，在Nim游戏中是没有石子可取的状态），则必有 sg(x)=0 ，这时当前玩家输掉游戏；若不然，则该状态只能转移到 sg 不为 0 的状态，那么对手立刻又可以转移到 sg 为 0 的状态，这样进行有限次后一定会陷入无法操作的状态输掉比赛。

相反，如果 sg(x)≠0 ，则称 x 为必胜态，说明此时存在策略使自己必定取胜（即每次轮到自己都转移到 sg 为 0 的状态）。

对于单堆的Nim游戏，我们很容易计算其 sg 值。设 sg(m) 表示剩余石子数为 m 的状态的 sg 值，则显然 sg(0)=0 ，那么 sg(1)=1 ，sg(2)=2 ……归纳可证 sg(n)=n 。因此，石子数不为0都是必胜态。

对于双堆的Nim游戏，设 sg(n,m) 表示剩余石子数分别为 n 和 m 的状态的 sg 值，则 sg(0,0)=0 ，并且 sg(n,0)=sg(0,n)=n 。我们发现 sg(1,1)=0 ，而 sg(1,2)=sg(2,1)=1 ，sg(2,2)=0 ……继续探索可以猜测，当 n=m 时，sg(n,m)=0 ，否则 sg(n,m)≠0 。这可以归纳证明。

当堆数越来越多时，这样盲目探索显得很困难。所幸，我们有SG定理。

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定义若干个ICG的组合为这样一个游戏：每位玩家每个回合在这若干个ICG（称为子游戏）中选择一个，对它进行一次操作；当所有子游戏都无法进行操作时，当前玩家输掉游戏。记两个ICG的状态分别为 x 和 y ，则记这两个ICG的组合的状态为 x+y 。

Sprague-Grundy定理（两个游戏的情形）：

设 x 和 y 为ICG的状态，则： sg(x+y)=sg(x)⊕sg(y)

其中 ⊕ 表示异或。

这个定理还是很神奇的，这里就不展开篇幅证明了，这里有很多证明。可以这样感性地理解：如果两个子游戏的 sg 值异或不为 0 ，那么一定可以转移到一个 sg 值异或和为 0 的状态（将 sg 值较大者转移到与较小者的 sg 值相同的状态就可以了，这一定能做到）；相反，如果两个子游戏的 sg 值异或为 0，则只能转移到 sg 值异或和不为 0 的状态——这正好对应了必胜态和必败态。

这个定理很容易进行推广：

设 x1,x2,…,xn 为ICG的状态，则： sg(x1+x2+⋯+xn)=sg(x1)⊕sg(x2)⊕⋯⊕sg(xn)

利用SG定理，我们就可以轻松地把单一游戏的情况推广到多个子游戏组合的情况。例如Nim游戏，就是在 n 堆石子的异或和为 0 时必败，否则必胜。

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举一个例题：

（洛谷P2148）[SDOI2009]E&D

小 E 与小 W 进行一项名为  E&D 游戏。
游戏的规则如下：桌子上有 2n 堆石子，编号为 1∼2n 。其中，为了方便起见，我们将第 2k−1 堆与第 2k 堆（ 1≤k≤n ）视为同一组。第 i 堆的石子个数用一个正整数 Si 表示。
一次分割操作指的是，从桌子上任取一堆石子，将其移走。然后分割它同一组的另一堆石子，从中取出若干个石子放在被移走的位置，组成新的一堆。操作完成后，所有堆的石子数必须保证大于 0 。显然，被分割的一堆的石子数至少要为 2 。两个人轮流进行分割操作。如果轮到某人进行操作时，所有堆的石子数均为 1 ，则此时没有石子可以操作，判此人输掉比赛。
小 E 进行第一次分割。他想知道，是否存在某种策略使得他一定能战胜小 W。因此，他求助于小 F，也就是你，请你告诉他是否存在必胜策略。例如，假设初始时桌子上有 4 堆石子，数量分别为 1,2,3,1 。小 E 可以选择移走第 1 堆，然后将第 2 堆分割（只能分出 1 个石子）。接下来，小 W 只能选择移走第 4 堆，然后将第 3 堆分割为 1 和 2 。最后轮到小 E，他只能移走后两堆中数量为 1 的一堆，将另一堆分割为 1 和 1 。这样，轮到小 W 时，所有堆的数量均为 1 ，则他输掉了比赛。故小 E 存在必胜策略。

很显然这是一个ICG，且可以看作 n 个子游戏的组合，显然每一组两堆石子组成最小单位。我们直接打表列出 sg 值（按照定义计算，可以写程序或手算）：

这张表显然很有规律，例如当 a 和 b 是奇数时 s(a,b)=0 ，还有 sg(i,j)=sg(j,i) 等等。还很容易发现，偶数列（或行）都是几个几个一组的。在此基础上进一步观察，可以发现第 2n 列的值与第 n 列是有关联的。

总结成公式就是：当 a 为偶数时， sg(a,b)=sg(a2,⌊b−12⌋+1)+1 。于是可以递归求解，代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
using ll = long long;
int count(ll n)
{
    int cnt = 0;
    while (n % 2 == 0)
        n /= 2, cnt++;
    return cnt;
}
int sg(ll a, ll b)
{
    if (a % 2 && b % 2)
        return 0;
    else if (a % 2 == 0)
        return sg(a / 2, (b - 1) / 2 + 1) + 1;
    else
        return sg(b, a);
}
int main()
{
    ll t, n, x, y;
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        int res = 0;
        cin >> n;
        for (int i = 0; i < n / 2; ++i)
        {
            cin >> x >> y;
            res ^= sg(x, y);
        }
        cout << (res ? "YES" : "NO") << endl;
    }
    return 0;
}

我们并没有严格地证明观察出结论，但这就是这类题的通常做法：打表找规律

int mex(auto v) // v可以是vector、set等容器 
{
    unordered_set<int> S;
    for (auto e : v)
        S.insert(e);
    for (int i = 0;; ++i)
        if (S.find(i) == S.end())
            return i;
}