扩展欧几里得算法求解不定方程||中国剩余定理

对于
$$ax+by=gcd(a,b)$$
这样的方程，可以用扩展欧几里得算法exgcd求出一组通解。

根据欧几里得求gcd：
$$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$$
可得
$$bx+(a\%b)y=gcd(b,a\%b)$$
根据
$$a\%b=a-(a/b)\ast b$$
可得
$$bx+ay-(a/b)b\ast y=gcd(b,a\%b)$$
化简得
$$ay+b(x-(a/b)y)=gcd(b,a\%b)$$
令
$$x^{\prime }=y,y^{\prime }=(x-(a/b)y)$$
可得
$$a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime }=gcd(b,a\%b)<=>ax+by=gcd(a,b)$$
根据
$$gcd(a,0)=a$$$$ax+by=a$$
可以得出一组平凡解
$$x=1,y=0$$

所以一直递归下去可以得出一组平凡解，然后再往回带得出$ax+by=gcd(a,b)$的一组解。

泛化来看不定方程
$$ax+by=c$$
只有满足$c\%gcd(a,b)==0$才有解。

求解同余方程
$$ax\equiv bmodn$$
$$ax=b+ny$$
令 y = -y
$$ax+ny=b$$
就转变成了上述形式

中国剩余定理
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