hdu 4000 题解（树状数组）

最新推荐文章于 2021-08-26 10:51:08 发布

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#题解

本文解析了一个关于寻找特定三元组的问题，利用权值树状数组进行高效计算，并提供了一种新颖的方法来解决更复杂的条件。通过枚举最小元素并结合组合数学技巧，有效地避免了重复计算。

（最近突然无聊，决定给大家秀一下我的图片库）

原题链接：
hdu

题意简述

求一个序列（保证是 $[1, n]$ 的一个排列， $n < = 1 e 5$ ）中有多少个三元组 $(i, j, k)$ 满足 $i < j < k$ 且 $(a [i] < a [k] < a [j])$ ？

数据

输入

多组（确定组数）。每组：

n
a1 a2 ... an//读入序列

输出

Case #1:ans
Case #2:ans
...
Case #t:ans//每组输出答案,膜1e9+7

样例

输入
2
6
1 3 2 6 5 4
5
3 5 2 4 1
输出
Case #1: 10
Case #2: 1

思路

（请先保证您会用权值树状数组求出三元上升子序列，也就是把这个题的条件改为 $a [i] < a [j] < a [k]$ 这样的问题，然后看下去）

我们发现 $i$ 不仅是下标最小，也是值最小，考虑枚举这个 $i$ 。

然后就是要在 $i$ 后面找有多少 $j, k$ 满足 $j < k$ 且 $a [j] > a [k]$ 且 $a [j]$ 和 $a [k]$ 都 $> a [i]$ 。
.假设我们此时不考虑 $a [j] > a [k]$ ，那就好做很多了。我们在 $[i + 1, n]$ 中比 $a [i]$ 大的数里面随便选两个 $(j, k)$ 满足 $j < k$ ，且 $a [j], a [k] > a [i]$ 。
设 $[i + 1, n]$ 中有 $R$ 个比 $i$ 大，那么此时的答案就是 $C_R^2=(R*(R-1)/2)$ 。

珂是这样多算了哪些答案呢？就是不满足 $a [j] > a [k]$ 的答案（理论上 $a$ 不大于 $b$ 是 $a < = b$ ，但是排列里面不会取等，所以这里不满足 $a [j] > a [k]$ 就是 $a [j] < a [k]$ ）。
然后这样子的答案，我们现在是没法求的，但是珂以在以后去除掉。而现在要考虑的，是把以前的去除掉。就是要在找一个 $i^{'}$ ，在右边找一个 $j$ ，使得 $a [i] > a [i^{'}]$ , $a [j] > a [i^{'}]$ ，但是 $a [i] < a [j]$ ，把这样的情况给去掉。这个自然是很好找的，就是"三元上升子序列"的做法了。
设左边有 $L$ 个比 $a [i]$ 小，右边有 $R$ 个比 $a [i]$ 大，情况数就是 $L * R$ 。

（最后说一下，其实我们珂以由“ $左边 < a [i]$ ”的情况数推算出“ $右边 > a [i]$ ”的情况数的。
设“ $左边 < a [i]$ ”有 $L$ 个。
那么
$左边 > a [i]$ 有 $(i - 1) - L$ 个。
一共有 $n - a [i]$ 个数比 $a [i]$ 大。
$右边 > a [i]$ 有 $总共的 - 左边 > a [i] = (n - a [i]) - (i - 1 - L)$ 个。
然后就求出来了。。。

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandle_Scarlet
{
    #define N 200100
    #define mod 100000007ll
    #define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
    #define CLS(x) MEM(x,0)
    #define int long long
    class BIT
    {
        public:
            int tree[N];
            int len;
            void BuildTree(int _len)
            {
                len=_len;
                CLS(tree);
            }

            void Add(int pos,int x)
            {
                while(pos<=len)
                {
                    tree[pos]+=x;
                    pos+=(pos&(-pos));
                }
            }
            int Query(int pos)
            {
                int ans=0;
                while(pos>0)
                {
                    ans+=tree[pos];
                    pos-=(pos&(-pos));
                }
                return ans;
            }
    }T;

    int n,a[N];
    void R1(int &x)
    {
        x=0;char c=getchar();int f=1;
        while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
        while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
        x=(f==1)?x:-x;
    }
    void Input()
    {
        R1(n);
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            R1(a[i]);
        }
    }

    void Soviet()
    {
        T.BuildTree(n);
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            T.Add(a[i],1);
            int L=T.Query(a[i]-1);//左边有L个比a[i]小
            int R=(n-a[i])-(i-1-L);//右边有R个比a[i]大
            ans+=R*(R-1)/2-L*R;//一个计算当前的答案，一个去掉之前多算的答案
        }
        printf("%lld\n",ans%mod);
    }

    void IsMyWife()
    {
        if (0)
        {
            freopen("","r",stdin);
            freopen("","w",stdout);
        }
        int t;R1(t);
        for(int i=1;i<=t;++i)
        {
            Input();
            printf("Case #%lld: ",i);
            Soviet();
        }
    }
    #undef int//long long
};
int main()
{
    Flandle_Scarlet::IsMyWife();
    return 0;
}

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