hdu 4602 Partition 题解（组合数学，推式子）

原题链接：
hdu

题意简述

一个数$n$珂以被分成若干个数的和的形式。

比如$n=4$时，分解有：
4=1+1+1+1
4=1+1+2
4=1+2+1
4=2+1+1
4=1+3
4=2+2
4=3+1
4=4

然后你要求在这些个分解中，$k$出现了多少次。

数据

输入

t//数据组数（这题多组）
n k
n k
...
n k//一次，n,k<=1e9

输出

ans
ans
...
ans//输出每个的答案，要膜1e9+7

样例

输入
2
4 2
5 5
输出
5
1

思路

我们会发现，一个数$n$中出现$k$，可能是一下几种情况：

1. 在中间的情况
   其中$k$是确定的，左右两边的$a,b$满足：$a,b>0$且$a+b=n-k$。然后我们发现，确定了$a$就确定了$b$，而且$a$是有范围的，$0<a<n-k$。所以我们考虑枚举$a$，求出$b$，进而求出情况数，然后求和。
   对于我们当前枚举的$a$，情况数为：
   左边：$2^{(a-1)}$种（把$a$因为中间已经有$k$了，所以$a$想怎么拆，就怎么拆）
   中间：$1$（确定了）
   右边：$2^{(b-1)}$种（同理，$b$想怎么拆，也就怎么拆了）
   根据乘法原理，共有$2^{a-1}\ast 2^{b-1}\ast 1=2^{a-1+b-1}=2^{n-k-2}$种。

我们发现这$tm$的是个定值。所以我们直接乘上去就好了。$a$在$(0,n-k)$之间（注意是开集），所以$a$有$n-k-2$种取值。所以情况$1$的总答案就是$2^{n-k-2}\ast (n-k-1)$。

2.在两边的情况：


这两种情况其实是一样的，只是位置不一样，算出来一个，乘二就珂以了。其中一个的答案：
确定的部分（$k$）：$1$
不确定部分（$n-k$）：$2^{n-k-1}$
然后再乘二就好了。我们会发现珂以合并同类项，变成：$2^{n-k}$

综上，答案就是$2^{n-k}+2^{n-k-2}\ast (n-k-1)$

然后就是快速幂模板了。代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandle_Scarlet
{
    #define mod 1000000007ll
    #define int long long
    int qpow(int a,int b,int m=mod)
    {
        if (b<0) return 0;
        int r=1;
        while(b)
        {
            if (b&1)
            {
                r=r*a%m;
            }
            a=a*a%m;
            b>>=1;
        }
        return r;
    }

    int n,k;
    void R1(int &x)
    {
        x=0;char c=getchar();int f=1;
        while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
        while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
        x=(f==1)?x:-x;
    }
    void P1(int x)
    {
        if (x>=0 and x<=9)
        {
            putchar(x+'0');
            return;
        }
        P1(x/10);
        putchar(x%10+'0');
    }
    void Input()
    {
        R1(n),R1(k);
    }
    void Soviet()
    {
        if (n==k)
        {
            puts("1");
            return;
        }
        int ans=qpow(2,n-k);
        ans+=qpow(2,n-k-2)*(n-k-1);
        ans%=mod;
        P1(ans);putchar('\n');
    }
    void IsMyWife()
    {
        if (0)
        {
            freopen("","r",stdin);
            freopen("","w",stdout);
        }
        int t;R1(t);
        while(t--)
        {
            Input();
            Soviet();
        }
    }
    #undef int //long long
};
int main()
{
    Flandle_Scarlet::IsMyWife();
    return 0;
}

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