hdu2842 Chinese Rings 题解（矩阵快速幂）

最新推荐文章于 2025-09-21 17:57:55 发布

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#题解

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本文探讨了一种类似于汉诺塔的递归游戏——连环问题。通过建立递推公式和转移矩阵，解决了求最少操作次数使序列全变为1的问题，并提供了详细的代码实现。

原题链接：
HDU

题意简述

给定一个 $n$ 连环，玩这个 $n$ 连环的规则：

初始 $n$ 个环都是 $0$
如果要动第 $i$ 个，那么第 $i - 1$ 个要是 $0$ ，前 $i - 2$ 个都要是 $1$ 。
第一个随便动

最少动几次，能让这个序列都变成 $1$ 。

数据

输入

多组数据。每次输入一个 $n$ ，输入 $0$ 结束。

输出

对于每个输入数据，输出答案。

样例

输入
1
4
0
输出
1
10

思路

~~看到Chinese我就来劲~~

和汉诺塔类似，是一个递归的游戏。我们考虑 $f (x)$ 为把前 $x$ 个都变一次的最小方案数，答案自然就是 $f (n)$ 了。那么，如何转移呢？

首先第 $x$ 个位置初始肯定是 $0$ 的。我们要把它变成 $1$ ，那么 $x - 2$ 个都要变成 $1$ 。此时消耗 $f (x - 2)$ 步。然后此时我们再把第 $x$ 个位置变成 $1$ ，又用了 $1$ 步。会发现第 $x - 1$ 个还是 $0$ ，怎么搞这个呢？
我们把前 $x - 2$ 个变回去，变成 $0$ 。然后我们再变前 $x - 1$ 个，就全都 $1$ 了。此时消耗步数 $f (x - 1) + f (x - 2)$ 步。

所以， $f (x) = f (x - 2) + f (x - 2) + f (x - 1) + 1 = f (x - 2) + 2 f (x - 2) + 1$ 。

如何转移呢？我们设
$\begin{bmatrix} f_i & f_{i-1} & 1 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} ? & ? & ?\\ ? & ? & ?\\ ? & ? & ?\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} f_{i+1} & f_i & 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} f_i+2f_{i-1}+1 & f_i & 1 \end{bmatrix}$
先去确定第一列。显然应该是 $[1\quad 2\quad 1]$
同理确定出第二，三列分别是 $[1\quad 0\quad 0],[0\quad 0\quad 1]$
然后就构造出了转移矩阵
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

然后转移即珂。特判 $n = 1, 2$ 的情况，边界条件：
$f_1=1,f_2=2$

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandle_Scarlet
{
    #define mod 200907
    #define int long long
    class Matrix//square matrix
    {
        #define N 5//changeable
        private:
            int a[N][N];
        public:
            //variable list
            int n;//size
            //initialization
            Matrix()
            {
                memset(a,0,sizeof(a));
                n=0;
            }
            Matrix(int _n)
            {
                memset(a,0,sizeof(a));
                n=_n;
            }
            Matrix(int _n,int _x)
            {_x%=mod;
                n=_n;
                for(int i=0;i<N;++i)
                {
                    for(int j=0;j<N;++j)
                    {
                        a[i][j]=_x;
                    }
                }
            }

            //get value
            int* operator[](int i)
            {
                return *(a+i);
            }

            //set value
            void Set(int x)
            {x%=mod;
                for(int i=0;i<N;++i)
                {
                    for(int j=0;j<N;++j)
                    {
                        a[i][j]=x;
                    }
                }
            }
            void Identity()
            {
                memset(a,0,sizeof(a));
                for(int i=0;i<N;++i)
                {
                    a[i][i]=1;
                }
            }
            #undef N //5
    };
    Matrix operator*(Matrix x,Matrix y)
    {
        Matrix ans(x.n,0);
        int n=ans.n;
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            for(int j=1;j<=n;++j)
            {
                for(int k=1;k<=n;++k)
                {
                    ans[i][j]+=x[i][k]*y[k][j];
                    ans[i][j]%=mod;
                }
            }
        }
        return ans;
    }
    Matrix operator^(Matrix x,int p)
    {
        Matrix ans(x.n,1);
        ans.Identity();
        while(p)
        {
            if (p&1) ans=ans*x;
            x=x*x,p>>=1;
        }
        return ans;
    }

    void calc(int x)
    {
        if (x==1)
        {
            puts("1");
            return;
        }
        if (x==2)
        {
            puts("2");
            return;
        }

        Matrix Trans(3,0);
        Trans[1][1]=Trans[1][2]=Trans[3][1]=Trans[3][3]=1;
        Trans[2][1]=2;

        Matrix Init(3,0);
        Init[1][1]=2;
        Init[1][2]=Init[1][3]=1;

        Matrix Ans=Init*(Trans^(x-2));
        printf("%lld\n",Ans[1][1]);
    }
    void IsMyWife()
    {
        if (0)
        {
            freopen("","r",stdin);
            freopen("","w",stdout);
        }
        int x;
        while(scanf("%lld",&x)==1 and x)
        {
            calc(x);
        }
    }
    #undef mod //200907
    #undef int //long long
};
int main()
{
    Flandle_Scarlet::IsMyWife();
    return 0;
}