Codeforces 1043F Make It One题解（容斥）

最新推荐文章于 2021-06-02 15:12:03 发布

原创最新推荐文章于 2021-06-02 15:12:03 发布 · 372 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#题解

Codeforces 专栏收录该内容

34 篇文章

订阅专栏

本文介绍了Codeforces 1043F问题的解决方案，主要涉及如何计算最少选择多少个数使得它们的最大公约数为1。通过分析最大质因数不超过3e5的限制，提出了从1到7枚举子集大小的暴力求解策略。关键在于利用组合数和模逆元计算满足gcd条件的子集数量，通过容斥原理来排除gcd大于1的情况。文章给出了思路及可能遇到的取模误差问题，并提供了部分代码片段。

原题链接：
洛谷
 CF

题意简述

给定 $n$ 和 $n$ 个数，问：最少选出多少个数能使得它们的 $g c d$ 是 $1$ ？

数据

输入

第一行是一个 $n (n < = 3 e 5)$ 。
接下来一行是 $n$ 个数（每个数 $< = 3 e 5$ ）。

输出

最少选出多少个数使得 $g c d$ 是 $1$ 。如果选不出来输出 $- 1$ 。

样例

输入
3
10 6 15
输出
3

输入
3
2 4 6
输出
-1

输入
7
30 60 21 42 70 15 30
输出
3

思路

我们会发现，前 $7$ 个质数相乘，即 $2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 = 510510$ ，超过了 $3 e 5$ 。所以，如果有答案，肯定在 $7$ 个以内。因为最多的情况，也就是 $7$ 个的情况，是
${510510/2,510510/3,510510/5,510510/7,510510/11,510510/13,510510/17\}$ 。珂以证明，这 $7$ 个数都 $< = 3 e 5$ ，且 $g c d$ 为 $1$ 。找一下规律，就能明白为什么不能有 $8$ 个了。

那么我们就有了一个暴力的思路：枚举 $k$ 从 $1$ 到 $7$ ，判断 $k$ 是否珂行。

那么，如何判断 $k$ 是否珂行呢？

我们设 $f (g)$ 表示选择 $k$ 个数使得 $g c d = g$ 有多少种选法。那么，如果能求正确，只要判断 $f (1)$ 是否不为 $0$ ，就珂以判断 $k$ 是否珂行了。珂是怎么求 $f (g)$ 呢？

设 $n$ 个数中最大的是 $m$ ， $c n t [i]$ 表示 $n$ 个数中有多少 $= i$ ， $m u l [i]$ 表示 $n$ 个数中有多少是 $i$ 的倍数。如果此时我们要求 $n$ 个数中选择 $k$ 个使得 $g c d$ 是 $g$ 的倍数，那非常简单，只要用组合数求 $C_{mul[g]}^{k}$ 即珂。然后求出这个之后，减去 $g c d$ 是 $g$ 的两倍以上的，得到的就是 $g c d$ 精确为 $g$ 的情况数，也就是我们要求的 $f (g)$ 。

也就是说， $f(g)=C_{mul[g]}^{k}-f(2g)-f(3g)...-f(很多g)$ ，直到减到 $很多 * g > = m$ 。我们会发现这个 $f$ 是和比它大的状态有关的，也就是说，我们在求 $f (g)$ 的时候， $f (2 g, 3 g . . .)$ 都要求出来。如何解决这个问题呢？只要逆序枚举 $g$ 就好了。

还有一个大问题：

怎么求组合数？

恭喜你进入正片。上面都是一些很水的东西。这是这题思维的精华所在，当然也是一个奇怪的技巧。只要鱼锤阶乘，取一下膜，然后打个逆元即珂。取膜。。。就对 $1000000007$ 取膜即珂。

那么，会不会出现这个问题：原本有答案的，由于同余之类的问题，就变成了 $0$ ，导致我们忽略了一个答案？

我告诉你：不会。原因：理论是会的，但是概率很小，足够过这个题了。

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandle_Scarlet
{
    #define N 300100
    #define int long long
    #define mod 1000000007
    int n,m,a[N];
    int cnt[N];//cnt[i]:how many a=i
    int mul[N];//mul[i]:how many a is multiple of i
    void Input()
    {
        m=-1;
        scanf("%I64d",&n);
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            scanf("%I64d",&a[i]);
            m=max(m,a[i]);
            ++cnt[a[i]];
        }
    }

    int fact[N];//factor
    int ifact[N];//inversion of factor
    int qpow(int a,int b,int m)
    {
        int r=1;
        while(b)
        {
            if (b&1) r=r*a%m;
            a=a*a%m,b>>=1;
        }
        return r;
    }
    int C(int n,int m)//combination
    {
        if (n<m) return 0;

        int ans=fact[n]*ifact[m]%mod*ifact[n-m]%mod;
        //fact[n]/(fact[m]*fact[n-m])
        return ans%mod;
    }
    int f[N],g[N];
    //f[i]:choose k,common divisor is i
    //g[i]:choose k,Gcd is i
    void Soviet()
    {
        for(int i=1;i<=m;++i)
        {
            mul[i]=0;
            for(int j=i;j<=m;j+=i)
            {
                mul[i]+=cnt[j];
            }
        }

        fact[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mod;

        ifact[n]=qpow(fact[n],mod-2,mod);
        for(int i=n-1;i>=0;--i)
        {
            ifact[i]=(ifact[i+1]*(i+1))%mod;
        }//取膜大法

        for(int k=1;k<=7;++k)//暴力枚举答案
        {
            for(int i=m;i>=1;--i)
            {
                f[i]=C(mul[i],k);
                for(int j=(i<<1);j<=m;j+=i)
                {
                    f[i]=(f[i]-f[j]+mod)%mod;//减去倍数
                }
            }
            if (f[1])
            {
                printf("%I64d\n",k);
                return;
            }
        }
        puts("-1");return;
    }
    void IsMyWife()
    {
        if (0)
        {
            freopen("","r",stdin);
            freopen("","w",stdout);
        }
        Input();
        Soviet();
    }
    #undef N //300100
    #undef mod //100000007
    #undef int //long long
};
int main()
{
    Flandle_Scarlet::IsMyWife();
    return 0;
}

回到总题解界面