hdu6156 Palindrome Function 题解（数位DP 或打表）_f. palindrome xor 题解-优快云博客

本文探讨了一个关于数位的函数f(a,b)，并利用数位DP技术求解特定范围内所有回文数的求和问题。通过详细解析算法思路，包括记忆化搜索、递归转移和二分查找等技巧，展示了如何高效地解决复杂数学问题。

请注意：一定要看到最后！

原题链接：
HDU

题意简述

定义一个关于数位的函数 $f (a, b) =$
$\begin{cases} 1 \qquad(当a在b进制下不是回文数)\\ b \qquad(别的情况) \end{cases}$
求 $\sum\limits_{base=l}^{r}\sum\limits_{j=L}^{R}f(j,base)$
（偷偷改了一下。。。）

数据

输入

多组数据。先有一个 $T$ 表示 $T$ 组数据，然后是 $T$ 行每行四个正整数 $L, R, l, r$ ，表示式子中的参数 $L, R, l, r$ 。 $1<=l<=r<=\red{36},1<=L<=R<=10^9$ 。

输出

$T$ 行。每行有 $1$ 个正整数，表示第 $T$ 组数据的答案。输出格式：
$Case(空格)\#i:(空格)ans(换行)$

"Case #%d: %d\n"

其中 $i$ 表示第 $i$ 组数据， $a n s$ 是第 $i$ 组数据的答案。

样例

输入
3
1 1 2 36
1 982180 10 10
496690841 524639270 5 20
输出
Case #1: 665
Case #2: 1000000
Case #3: 447525746

思路

在这里顶一下fuzhihong巨佬的这篇博客，写的十分详细，我是靠这个看懂的！

（恕我直言，别的博客都写的啥玩意。。。说要用数位 $D P$ ，珂是没有说具体咋 $D P$ ，我这个蒟蒻，显然看不懂啊。。。）

这个题。。首先我在写题面的时候将原来的式子作了变形，也就是调换了一下 $\sum$ 的位置。

其次，注意到 $l, r$ 的范围很小，所以 $l, r$ 这一层珂以暴力枚举。当然，不同的进制之间几乎没有规律，所以也没有办法优化掉这一层。
回到原问题。如果我们当前枚举到了 $b a s e$ 进制，我们知道这个进制里 $L, R$ 间有 $c n t$ 个回文数，那么后面的和就是
$c n t * b a s e + (R - L + 1 - c n t)$ 。
其中 $c n t * b a s e$ 是所有回文数给出的贡献， $(R - L + 1 - c n t)$ 是所有不回文的数给出的贡献。 $L, R$ 之间的回文数个数，珂以用 $[1, R]$ 之间减去 $[1, L - 1]$ 之间。现在的问题就是：

求 $b a s e$ 进制下 $[1, x]$ 之间有多少回文

这就非常毒瘤了。看起来，珂以。。。数位 $D P$ ?

仿佛是的，那就试试看⑧。先写出了这样的函数：

void DFS(bool lim,int base,int start,int pos)
{
	
}

$b a s e$ （表示进制）， $p o s$ （表示当前位置），还有 $l i m$ （是否选择了 $x$ 的前缀）是本题中显然需要的元素。这两个不确定，就相当于啥都不确定。接下来我们会发现，前导 $0$ 是不参与回文计算的。也就是说， $00100$ 这样的不是回文数。所以我们也要记录我们是从哪里开始的，用 $s t a r t$ 表示。

那么，如何保证我们算出来的是回文呢？显然是不能一位一位判的，用fuzhihong巨佬的话说，就玩完了。所以我们要一边搜一边判，显然需要记录我们选了的位是哪些。接下来分三种情况转移：

选择了一位 $0$ （即出现了前导 $0$ ）：
注意前导 $0$ 是不参与回文计算的。所以 $s t a r t$ 要 $- 1$ 。当然我们当前考虑的位 $p o s$ 也要 $- 1$ ，然后继续去寻找答案。要注意 $l i m$ 的限制。
当前的位置超过了对称中心（即 $(s t a r t + 1) / 2$ ）
此时就要去和前面选过的位进行比较了。此时由于超过了对称中心，就需要和前面作比较。如果当前枚举的新位 $i$ 和前面的位不对称，那么就要去找不回文的答案了。那么，不回文有答案么？显然是没有的。比如说，我们枚举到了一个 $113\red{1}2**$ ，显然，后面有啥都不珂能回文了。所以就直接返回 $0$ 好了。由此珂见，我们需要多传一个参数进来，叫 $is\_palin$ ，表示当前是否回文。
别的情况
记录好 $n o w$ 数组， $p o s - 1$ （即到下一个位置），继续搜索。

当然，我们是记忆化搜索，所以要知道啥时候能用记忆化的结果。如果没有限制条件，而且 $d p$ （即记忆化数组）上面有值了，就直接返回 $d p$ 中记录的值。而且也不能忘了每次算完记录一下。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandle_Scarlet
{
    #define int long long
    int d[60];int cnt=0;
    void decompose(int base,int x)
    {
        cnt=0;
        while(x)
        {
            d[cnt++]=x%base;
            x/=base;
        }
        d[cnt]=0;
    }

    int dp[60][60][60][2];
    int now[60];
    int DFS(bool lim,bool is_palin,int base,int start,int pos)
    {
        if (!is_palin) return 0;//直接退出
        if (pos<0)
        {
            return 1;//此时is_palin是1
            //所以肯定有一个解（长度为0是一种解）
        }
        if (!lim and ~dp[start][pos][base][is_palin])
        {
            return dp[start][pos][base][is_palin];
        }//记忆化

        int ans=0;
        int up=lim?d[pos]:base-1;//注意限制
        for(int i=0;i<=up;++i)
        {
            now[pos]=i;//记录选择的数组
            if (start==pos and i==0)
            {
                ans+=DFS(lim and i==up,is_palin,base,start-1,pos-1);
            }
            else if ((start-1)/2>=pos and is_palin)
            {
                ans+=DFS(lim and i==up,now[start-pos]==i,base,start,pos-1);
            }
            else
            {
                ans+=DFS(lim and i==up,is_palin,base,start,pos-1);
            }//三种情况
        }
        if (!lim)
        {
            dp[start][pos][base][is_palin]=ans;
        }
        return ans;
    }
    int calc(int base,int x)
    {
        memset(now,-1,sizeof(now));
        decompose(base,x);
        return DFS(1,1,base,cnt-1,cnt-1);
    }
    int l,r,L,R;
    void Solve(int Case)
    {
        int ans=0;
        for(int base=l;base<=r;++base)
        {
            int cnt=calc(base,R)-calc(base,L-1);
            ans+=cnt*base+(R-L+1-cnt);
        }
        printf("Case #%lld: %lld\n",Case,ans);
    }
    void IsMyWife()
    {
        if (0)
        {
            freopen("","r",stdin);
            freopen("","w",stdout);
        }
        int t;scanf("%lld",&t);
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        for(int Case=1;Case<=t;++Case)
        {
            scanf("%lld%lld%lld%lld",&L,&R,&l,&r);
            Solve(Case);
        }
    }
    #undef int //long long
};
main()
{
    Flandle_Scarlet::IsMyWife();
    return 0;
}

你以为这就结束了？不！

还有一个瞎搞过题法：打表后二分答案。

我们会发现，确定一个回文数，只需要确定一半，另一半直接 $\red{拼}$ 出来。比如在十进制中，我们枚举 $123$ ，就珂以确定两个回文数 $12321$ 和 $123321$ 。所以，这就告诉我们，在 $1 e 9$ 以内，回文数的个数大概就是开个根左右（位数枚举一半）。。。即空间是 $1 e 5 * 36 * 一些常数$ 。经过我的多次试验，这个常数 $= 1.5$ 就过了。

给出这个代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandle_Scarlet
{
    #define int long long
    int palin[37][300100];
    //每个数会确定两个，所以这里开三倍
    int pcnt[37];
    int d[70];
    void Add1(int base,int x)//第一种情况，即中间重合一部分的情况,长度为奇数
    {
        int cnt=0;memset(d,0,sizeof(d));
        while(x)
        {
            d[++cnt]=x%base;
            x/=base;
        }reverse(d+1,d+cnt+1);
        for(int i=cnt+1;i<=2*cnt-1;++i)
        {
            d[i]=d[2*cnt-i];
        }

        int newx=0;
        for(int i=1;i<=2*cnt-1;++i)
        {
            newx=newx*base+d[i];
        }
        palin[base][++pcnt[base]]=newx;
    }
    void Add2(int base,int x)//第二种情况，直接拼接，长度为偶数
    {
        int cnt=0;
        while(x)
        {
            d[++cnt]=x%base;
            x/=base;
        }reverse(d+1,d+cnt+1);
        for(int i=cnt+1;i<=2*cnt;++i)
        {
            d[i]=d[2*cnt-i+1];
        }

        int newx=0;
        for(int i=1;i<=2*cnt;++i)
        {
            newx=newx*base+d[i];
        }
        palin[base][++pcnt[base]]=newx;
    }
    void Init()
    {
        memset(pcnt,0,sizeof(pcnt));
        for(int base=2;base<=36;++base)
        {
            for(int i=1;i<=150000;++i)//1.5倍常数
            {
                Add1(base,i);
                Add2(base,i);//两种情况
            }
            sort(palin[base]+1,palin[base]+pcnt[base]+1);//方便upper_bound
        }
    }

    int calc(int base,int x)
    {
        int pos=upper_bound(palin[base]+1,palin[base]+pcnt[base]+1,x)-1-palin[base];
        return pos;
    }//直接找
    int l,r,L,R;
    void Soviet()
    {
        int ans=0;
        for(int base=l;base<=r;++base)
        {
            int cnt=calc(base,R)-calc(base,L-1);
            ans+=cnt*base+(R-L+1-cnt);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    void IsMyWife()
    {
        if (0)
        {
            freopen("","r",stdin);
            freopen("","w",stdout);
        }
        Init();
        int t;scanf("%lld",&t);
        for(int i=1;i<=t;++i)
        {
            scanf("%lld%lld%lld%lld",&L,&R,&l,&r);
            printf("Case #%lld: ",i);
            Soviet();
        }
    }
    #undef int //long long
};
int main()
{
    Flandle_Scarlet::IsMyWife();
    return 0;
}