Codeforcs 75C Modified GCD 题解

最新推荐文章于 2020-07-27 12:24:00 发布

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本文介绍了一个编程问题的解决方案，该问题要求在给定区间[l, r]内找到a, b的最大公因数。通过利用数学定理，可以先计算gcd(a, b)，然后对gcd的因数进行排序，对每个询问使用二分查找来优化效率。这种方法避免了不必要的枚举，确保了空间和时间复杂度的合理性。" 42419479,4847039,K-means聚类算法详解与应用,"['机器学习', '数据挖掘', '无监督学习', '聚类算法', 'K-means']

题意简述

给定 $a, b (a, b < = 1 e 9)$ ，和 $T (T < = 1 e 4)$ 个询问，每次询问包含两个数 $l, r (l < = r < = 1 e 9)$ ，求 $[l, r]$ 中最大的 $a, b$ 的公因数。如果 $l, r$ 中没有一个数是 $a, b$ 的公因数，输出 $- 1$ 。

数据

输入

第一行给定两个正整数 $a, b$
第二行一个正整数 $T$
接下来 $T$ 行，每行两个正整数，表示一个询问 $l, r$ 。

输出

对于每个询问，输出这个询问的答案。

样例

输入
9 27
3
1 5
10 11
9 11
输出
3
-1
9

解释

对于第一个询问，输出 $3$ 。当然， $9$ 和 $27$ 的公因数还有 $9$ ，但是 $9$ 不在给定的区间内。
对于第二个询问，区间中包含两个数 $10, 11$ ，均不是 $9, 27$ 的公因数。
对于第三个询问，区间包含三个数 $9, 10, 11$ ，其中满足是公因数且最大的是 $9$ 。

思路

刚看到这个题，我们可能有这样的思路：
枚举区间，判断是否是 $a, b$ 的公因数，找最大的那个。

但是，我们会发现，我们珂能多枚举了很多！因为区间中珂能有很多数不是 $a, b$ 的公因数。要优化掉这些多余的枚举，就要 ~~开O2~~ 想办法。一会，我们可能会想到，我们珂不珂以枚举 $a, b$ 的公因数，然后判断是否在区间内，求最大呢？

此时我们联想到一个定理： $a, b$ 的所有公因数都是 $g c d (a, b)$ 的因数。
还有另外一个定理：一个数 $n$ 的因数关于 $\sqrt{n}$ 对称（即两两乘积相等）。
根据这两个定理，我们就珂以把 $g c d (a, b)$ 先求出来，然后打个表，排一下序，对于每次询问，二分一下就珂以了。那么，打表（也就是预处理）会不会爆空间呢？由第二个定理可知， $g c d (a, b)$ 的因数个数不会超过 $2\sqrt{gcd(a,b)}$ 。而 $g c d (a, b)$ 有不会超过 $m i n (a, b)$ ，所以空间战友不会超过 $\sqrt{1e9}$ ，一定能存下。

具体如何二分呢？只要 $upper\_bound$ 一下即可。 $upper\_bound(l,r,x)$ 会返回指针区间 $[l, r)$ 内第一个大于 $x$ 的位置。那么，我们把这个位置 $- 1$ 就是最后一个 $< = x$ 的位置了。当然，我们在减去数组头，就珂以得到这个是数组的第几个了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandle_Scarlet
{
    #define int long long
    #define N 100100
    int a,b;
    int d[N];//d保存gcd(a,b)的因数

    void Build()
    {
        int g=__gcd(a,b);//求出gcd(a,b)
        int& cnt=d[0];//为了节省空间，用d的第一个位置作为计数器
        for(int i=1;i*i<=g;++i)//枚举到根号即珂
        {
            if (g%i==0)
            {
                d[++cnt]=i;
                if (i*i!=g)//避免重复枚举
                {
                    d[++cnt]=g/i;
                }
            }
        }
        sort(d+1,d+cnt+1);//排序，方便二分
    }

    void Query()
    {
        int T;scanf("%lld",&T);
        while(T--)
        {
            int l,r;
            scanf("%lld%lld",&l,&r);
            int k=(upper_bound(d+1,d+d[0]+1,r)-1)-d;
            //上面说过这里
            if (d[k]>=l)//还要判一下是否>l
            {
                printf("%lld\n",d[k]);
            }
            else
            {
                puts("-1");
            }
        }
    }

    void Main()
    {
        scanf("%lld%lld",&a,&b);
        Build();
        Query();
    }
};
main()
{
    Flandle_Scarlet::Main();
    return 0;
}