CodeForces 75C Modified GCD (二分+数论)

题目链接:http://codeforces.com/problemset/problem/75/C

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define debug puts("YES");
#define rep(x,y,z) for(int (x)=(y);(x)<(z);(x)++)
#define ll long long

#define lrt int l,int r,int rt
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
#define root l,r,rt
#define mst(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))

#define pii pair<ll,ll>
#define mk(x,y) make_pair(x,y)

const int  maxn =1e5+5;
const int mod=998244353;
const int ub=1e6;
ll powmod(ll x,ll y){ll t; for(t=1;y;y>>=1,x=x*x%mod) if(y&1) t=t*x%mod; return t;}
ll gcd(ll x,ll y){return y?gcd(y,x%y):x;}
/*
题目大意:求在给定范围内的两个数的最大公约数。

先预处理出其gcd的所有因子,
然后排序,对每个查询在容器里二分找位置,取最大的那个,
判断一下存在性即可。

时间复杂度:O(sqrt(n)+qloglogn)
*/
ll n,a,b,m;
int q;
vector<ll> p;
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);

    ll gd=gcd(n,m);
    for(int i=1;1LL*i*i<=gd;i++) if(gd%i==0){
        ll x=i,y=gd/i;
        p.push_back(x);
        if(x!=y) p.push_back(y);
    }

    sort(p.begin(),p.end());
    scanf("%d",&q);
    while(q--){
        scanf("%lld%lld",&a,&b);
        int pa=lower_bound(p.begin(),p.end(),a)-p.begin();
        int pb=upper_bound(p.begin(),p.end(),b)-p.begin();pb--;
        ///cout<<pa<<" "<<pb<<endl;
        if(pb>=pa) printf("%lld\n",p[pb]);
        else puts("-1");
    }
    return 0;
}

 

### 关于Codeforces中的GCD问题 在Codeforces平台上存在多个涉及最大公约数(GCD)概念的问题。其中一道具有代表性的题目是编号为1025B的“Weakened Common Divisor”,该题由著名数学家Ildar引入了一个新的概念——弱化公因数(WCD),即对于一系列整数对列表而言的一种特殊性质[^2]。 具体到这道题目的描述如下:给出一个长度为\(n\)的数组\(a\),目标是在所有元素上加上同一个常量\(d\)之后能够找到至少两个不同的位置其值的最大公约数大于等于2,并且要使这个加上的常量尽可能小。此题的关键在于通过计算相邻两数之差来间接获取可能存在的公共因子,进而利用这些信息推导出满足条件所需的最小增量\[d\][^4]。 为了高效解决这类基于GCD的问题,在算法设计方面通常会采用一些特定技巧: - **差分遍历**:通过对原始序列做适当变换简化问题结构; - **快速求解GCD**:借助欧几里得算法迅速定位潜在候选者; - **优化查找过程**:针对所得结果进一步筛选最优方案; 下面是一个Python版本的解决方案片段用于演示如何处理上述提到的任务逻辑: ```python from math import gcd from itertools import pairwise def min_operations_to_weak_gcd(nums): diff_gcd = 0 for prev, curr in pairwise(nums): diff_gcd = gcd(diff_gcd, abs(curr - prev)) if diff_gcd == 1: return -1 factors = get_factors(diff_gcd) result = float('inf') target_modulo = nums[0] % diff_gcd for factor in factors: candidate = ((target_modulo + diff_gcd - (nums[0] % factor)) % factor) result = min(result, candidate) return int(result) def get_factors(n): """Helper function to generate all divisors.""" res = [] i = 1 while i*i <= n: if n % i == 0: res.append(i) if i != n // i: res.append(n//i) i += 1 return sorted(res)[::-1] ```
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