Codefoces 955C 题解

最新推荐文章于 2025-02-15 13:46:02 发布

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本文详细解析了Codeforces 955C题目，通过题意简述和数据介绍，阐述了解题思路。主要讨论了当p>=3和p=2时的不同处理方法，利用数学性质优化了暴力求解的过程，最终给出代码实现。

题意简述

多组数据。每次给定 $l$ , $r$ ( $l, r$ 都 $< = 1 e 18$ )，求 $l$ ~ $r$ 中有多少 $x$ 满足 $x=a^p$ ，其中 $a$ 和 $p$ 是两个整数满足 $a > 0, p > 1$ 。

数据

输入：
6
1 4
9 9
5 7
12 29
137 591
1 1000000

输出：
2
1
0
3
17
1111

思路

会发现，当 $p > = 3$ 时，使得 $0<=a^p<=1e18$ 的 $a$ 并不多， $p = 3$ 大概有 $1 e 6$ ，然后后面更少。经计算，总共的个数(去重后)是 $1003332$ ，就比 $1 e 6$ 多一点。考虑暴力存下，排序去重后存着。 $p > = 3$ 的情况只要 $u p p e r b o u n d - l o w e r b o u n d$ 即可（lower_bound和upper_bound返回的都是指针，如果相减就珂以得到中间长度了。不用 $+ 1$ 的原因是upper_bound找到的那个不珂以取）。记为 $a_1$ 。

那如何处理 $p = 2$ 的情况？

相当于求有多少 $a$ 满足 $l<=a^2<=r$ 。

我们会发现，如果设 $S (n)$ 为满足 $1<=a^2<=n$ 的 $a$ 个数，则我们要求的就是 $S (r) - S (l - 1)$ 。

由数学常识得， $S(n)=nS(n)=\sqrt{n}$ 。

故我们要求的就是 $r−l−1\sqrt{r}-\sqrt{l-1}$ 。记为 $a_2$

然后只要把 $a_1$ 和 $a_2$ 加一起即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int Max=1000000ll*1000000ll*1000000ll;//1e18

int Root(int x)
{
    return (int)sqrt(x*1.0+0.5);
}
vector<int>tmp;
void Build()
{
    for(int i=2;i<=1000000;i++)//枚举底数
    {
        int s=i*i*i;//至少三次方
        while(s<=Max)
        {
            int rs=Root(s);
            if (rs*rs<s) tmp.push_back(s);
            //这个就是判s是否是平方数，为了避免和后面考虑p=2的情况重合

            if (s>Max/i) break;//如果爆了赶快退出
            else s*=i;//没爆继续乘
        }
    }
    sort(tmp.begin(),tmp.end());
    tmp.erase(unique(tmp.begin(),tmp.end()),tmp.end());//排序去重，方便lower_bound和upper_bound
    //printf("%d\n",tmp.size());
    //=1003332，如果要自己写（即不完全Copy我的），珂以先对一下这个答案
}

int l,r;
void Solve()
{
    int a1=upper_bound(tmp.begin(),tmp.end(),r)-lower_bound(tmp.begin(),tmp.end(),l);
    int a2=Root(r)-Root(l-1);
    printf("%I64d\n",a1+a2);//上面说的a1和a2
}

main()
{
    Build();
    int T;scanf("%I64d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%I64d%I64d",&l,&r);
        Solve();
    }
    return 0;
}