poj 3233题解

最新推荐文章于 2019-09-21 12:28:04 发布

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这篇博客详细介绍了POJ 3233题目，探讨如何解决求解矩阵A+A^2+A^3+...+Ak的问题，其中k可能非常大（k<=1e9）。作者指出，通过因式分解和矩阵快速幂，可以将复杂度降低到O(logk×logk×n^3)。内容包括题意解析、数据说明和解题思路，并给出了利用因式分解和矩阵快速幂优化的方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

第一次写poj的题目的题解呢 $QωQ\color{pink}Q\omega Q$ 。

题意简述

给定一个 $n×nn\times n$ 的矩阵 $A$ ，求 $A+A2+A3⋯+AkA+A^2+A^3\cdots +A^k$ 的值（其中 $k < = 1 e 9$ ）。每一项膜 $m$ 。

数据

输入
2 2 4//n,k,m
0 1
1 1
输出
1 2
2 3

思路

特意注明 $k < = 1 e 9$ ，只是想说明我们都会写的暴力过不去了。。。
这不是在欺负女孩子（我）是在干嘛。。。
但是，正好最近学因式分解。我们设 $S(k)=A+A2+A3⋯+AkS(k)=A+A^2+A^3\cdots +A^k$ ，那么：

当 $k$ 为偶数的时候，会发现珂以提一个公因式 $S (k / 2)$ ，此时 $S (k)$ 化为
$S(k/2)(I(n)+A^{k/2})$ 。
（其中 $I (n)$ 表示 $n×nn\times n$ 的单位矩阵）

当 $k$ 为奇数的时候， $S(k)=A^k+S(k-1)$
注意到此时 $k - 1$ 是偶数，根据上面的变换，原式化为
$A^k+S(k/2)(I(n)+A^{k/2})$

然后会发现，每次规模都会缩小一半，就是 $O (l o g k)$ 的。在加上矩阵快速幂的复杂度，总复杂度就是 $O(logk×logk×n3)=O(log2kn3)O(logk\times logk\times n^3)=O(log^2kn^3)$ 。
代码：

#include<cstdio>
#define N 35
using namespace std;
int n,k,m;

struct mat
{
    int m[N][N];
    int* operator[](int i)//封装下标[]运算符
    {
        return m[i];
    }

    mat(int x)//初始值设为x
    {
        for(int i=0;i<N;i++)
        {
            for(int j=0;j<N;j++)
            {
                m[i][j]=x;
            }
        }
    }
    void Set(int x=0)//这个方便后期设置
    {
        for(int i=0;i<N;i++)
        {
            for(int j=0;j<N;j++)
            {
                m[i][j]=x;
            }
        }
    }
    void Identity()//设置成单位矩阵
    {
        Set(0);
        for(int i=0;i<N;i++)
        {
            m[i][i]=1;
        }
    }
};
mat operator+(mat x,mat y)//矩阵加法
{
    mat s(0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            s[i][j]=(x[i][j]+y[i][j])%m;
        }
    }
    return s;
}
mat operator*(mat x,mat y)//矩阵乘法
{
    mat ans(0);

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            ans[i][j]=0;
            for(int k=1;k<=n;k++)
            {
                ans[i][j]+=x[i][k]*y[k][j];
                ans[i][j]%=m;
            }
        }
    }
    return ans;
}
mat operator^(mat x,int p)//矩阵快速幂
{
    mat ans(0);ans.Identity();
    while(p)
    {
        if (p&1) ans=ans*x;
        x=x*x,p>>=1;
    }
    return ans;
}
mat a(0);

void Input()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&k,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
}
mat calc(int k)//计算S(k)
{
    if (k==1) return a;//边界（这个千万别忘了！!!）
    mat ans(0);
    ans.Identity();
    ans=ans+(a^(k>>1));//I(n)+A^(k>>1)
    ans=ans*calc(k>>1);//S(k>>1)×(I(n)+A^(k>>1))
    if (k&1) ans=ans+(a^k);//由于>>1的值奇数和偶数没区别，奇数和偶数的区别就只是在这里
    return ans;
}
void Solve()
{
    mat tmp=calc(k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            tmp[i][j]%=m;//为了保险（具体有没有用。。。我也不知道。。。）
            printf("%d ",tmp[i][j]);
        }
        putchar('\n');
    }
}
int main()
{
    Input();
    Solve();
    return 0;
}