回文自动机 笔记

今天日常给同学@CollinGao 写奥♂义。讲到了这个东西，还是挺有用的，就是有点毒瘤？仿佛没什么人知道的亚子。。。

不是很难理解的算法，我在期中考试考场上就直接yy出了一个来。虽然马上CSP了，但是我还是准备来颓废，写写这篇奥♂义。

基础题型

给你一个字符串，对于每个前缀，求该前缀中有多少前缀不同的回文子串。定义一个回文子串的权值为：长度乘以出现次数。对于每个前缀，也请你求出最大的回文子串的权值是多少。

回文自动机（又名回文树）是干啥的

大家都知道TRIE树（知道即珂，但是如果连听说都没听说过，那劝退了）。在TRIE树上，每个节点表示一个字符串，字符记录在边权上。连一条边表示在这个字符串后面加上一个字符。

那么，回文自动机是怎么弄的的？连一条边，表示在这个字符串前后各加上一个字符。比如某个父亲的字符串为"aba"，连了一条权值为’c’的边到儿子，儿子的字符串就是"cabac"。

然后要注意一点，回文自动机有两个根。其原因很显然，因为一个父亲以下的字符串长度的奇偶性不会改变。所以，两个根分别记录奇数长度和偶数长度的回文串，名字就叫奇根和偶根。偶根很好理解，表示一个空串，其长度为$0$。那么，奇根怎么办呢？仔细一推，单个字符长度为$1$，其父亲的长度为其长度$-2$，也就是说，奇根表示的字符串长度为$-1$？！

没事，$-1$就$-1$，只不过是为了方便计算罢了。实际实现中，考虑到空间问题，我们并不会实际记录表示的字符串，只是记录一个长度$len$。那么，只要让这个点的$len=-1$即珂，一点问题都没有。

fail指针

精髓（准确来讲，是每个自动机的精髓）。对于一个节点，它的$fail$指针是指：除了自己之外，LPS（Longest Palindrome Suffix，最长回文后缀）所对应的点。
如果你仔细咀嚼了这句话，那么你会想这样一个问题：除了自己之外的最长回文子串一定在树上能找到吗？

证明fail一定在树上能找到

（如果您能自己证明，请跳过这段）
设当前节点表示字符串$s$，$fail$指向的节点所对应为$f$，$f^t$表示把$f$反过来，$|f|$表示$f$的长度，如图所示。

由于$S$是回文串（根据定义），$S$的前缀$|f|$个字符串和后缀$|f|$。$S$和$f$都是回文的，非常容易证明，$S$的$|f|$个前缀和这么长的后缀是一样的。
那么，$f$在后面出现一遍，就说明在前面也出现了一遍。由于我们是从前往后加入到树上的，所以这个串一定能找到。

证毕 $■$

如何构建

上面讲了一下，我们是按照从前往后的顺序插入$s$的每个字符的。对于插入第$i$