回文自动机学习笔记（配图）

前言

回文树（EER Tree，Palindromic Tree，也被称为回文自动机）是一种可以存储一个串中所有回文子串的高效数据结构。使用回文树可以简单高效地解决一系列涉及回文串的问题。

结构

回文树是由两个树组成。根节点分别是 $0$ 和 $-1$，分别表示长度为偶数和奇数的回文串（存储方式和 trie 类似）。一棵表示 abba 的回文树长这样：

其中，黑色边表示 fail 指针。回文串的 fail 指针，指向「后缀最长回文串」。

转移

现在给定字符串 $s$，假设我们已经处理好了 $[1,p-1]$ 之前的回文树，现在要添加字符 $s_p$。

假设存在 $[1,p-1]$ 的后缀回文串长度为 $len$，当且仅当 $s_{p-len-1}=s_p$ 时，可以添加新的回文串。

我们可以不断地查询 fail 指针，假设查询到长度为 $len$ 的回文串，那么直到 $s_{p-len-1}=s_p$ 时，添加新的回文串 $[p-len-1,p]$。

现在我们要更新 $[p-len-1,p]$ 的 fail 指针。我们回到刚刚长度为 $len$ 的回文串，继续查询 fail 指针，直到继续存在 $s_{p-len-1}=s_p$ 时，更新 fail 指针。

找到 A 所代表的节点，然后在下面增加一个 $s_p$，并且将 $s_p$ 节点的 fail 指针指向 B。

Oi-wiki 上面有详细的证明证明时间复杂度是正确的 $O(n)$。

实现

首先，我们要实现 getfail 函数，表示从 $[1,p-1]$ 到 A，和 A 到 B 的操作。

int getfail(int x, int i){
	// 表示节点编号为 x 中，满足第 s[i] = s[i - len - 1] 的最长子串 
	while(i - len[x] - 1 <= 0 || s[i - len[x] - 1] != s[i])	x = fail[x];
	return x; 
}

假如我们从第 $i(p)$ 号位置插入新字符 $c(s_p)$，有 insert 函数。

int insert(char c, int i){// 在第 i 位新增一个字符 c  
    int p = getfail(now, i);// 此时 p 是自动机中 A 的编号  
    if(!t[p][c - 'a']){// 新的子节点  
        fail[++tot] = t[getfail(fail[p], i)][c - 'a'];  
        t[p][c - 'a'] = tot;  
        len[tot] = len[p] + 2;  
//        cnt[tot] = cnt[fail[tot]] + 1;  
    }  
    now = t[p][c - 'a'];  
    return cnt[now];  
}  

例题 P5496 【模板】回文自动机（PAM） - 洛谷

代码如下，增加了 cnt 数组。

#include <bits/stdc++.h>
#define pii pair<int, int>
#define pb push_back
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 5e5 + 5;
string s;
int len[N], fail[N], t[N][26];
// 分别表示节点编号为 i 的长度、最长后缀回文串编号， 
int cnt[N], n, tot = 1, now;

int getfail(int x, int i){
	// 表示节点编号为 x 中，满足第 s[i] = s[i - len - 1] 的最长子串 
	while(i - len[x] - 1 <= 0 || s[i - len[x] - 1] != s[i])	x = fail[x];
	return x; 
}

int insert(char c, int i){// 在第 i 位新增一个字符 c 
	int p = getfail(now, i);// 此时 p 是笔记中 A 的编号 
	if(!t[p][c - 'a']){// 新的儿子 
		fail[++tot] = t[getfail(fail[p], i)][c - 'a'];
		t[p][c - 'a'] = tot;
		len[tot] = len[p] + 2;
		cnt[tot] = cnt[fail[tot]] + 1;
	}
	now = t[p][c - 'a'];
	return cnt[now];
}

signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	cin>>s;
	n = s.size();
	s = " " + s;
	fail[0] = 1, len[1] = -1;
	int lst = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		if(i-1)	s[i] = (s[i] + lst - 97) % 26 + 97;
		lst = insert(s[i], i);
		cout<<lst<<' ';
	}
	return 0;
}