Codeforces 301D Yaroslav and Divisors 题解

最新推荐文章于 2024-01-08 18:59:56 发布

原创最新推荐文章于 2024-01-08 18:59:56 发布 · 245 阅读

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这篇博客详细介绍了如何解决Codeforces上的301D问题，题目要求在给定的排列中计算区间内数对的倍数关系。博主提出采用离线询问、树状数组维护的方法，通过遍历顺序优化，达到nlogn的时间复杂度。文章内容包括题意简述、思路框架、具体思路和实现注意事项，并提醒读者注意代码中无需使用long long类型。

题意简述

给你一个 $[1, n]$ 的排列，长度为 $n$ ，多次查询一段区间中有多少对数满足其中一个是另一个的倍数。 $n$ 是 $1 e 5$ ，复杂度大约是 $log^2$ 的，当然如果您能想出一个带根号的算法，那我开心死了。私信3348064478@qq.com，或者评论。

思路框架

离线询问，然后用合理的遍历顺序加上一个完美的树状数组维护， $n l o g n$ 过这个题。

具体思路

我们的主体目标是要在每个数的右边找到一个能与其组成一对倍数关系的数，这样就不会导致同一对倍数被算两次了。所以我们不管是因数关系还是倍数关系，只管往右边就对了。

由于是排列，所以我们珂以用一个 $v e c t o r$ 存储每个数的倍数/因数都出现在哪些位置。这样的空间复杂度是 $O (n / 1 + n / 2 + n / 3 + n / 4 . . . + n / n) = O (n l o g n)$ 的，能够承受。

然后我们把询问的区间按左端点从右往左排序。考虑每个数，显然它的贡献就是出现在 $[l, r]$ 中并且能和其组成倍数关系的数。然后，对于它每个倍数/因数的位置，我们用树状数组维护一下，在这里加上 $1$ ，然后计算 $[1, r]$ 的和即珂。

实现注意

不用long long （是不是很反常
没啥别的了，就是个纯思维题（是不是很良心

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
    #define N 255555
    #define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
    #define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
    #define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
    #define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
    #define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),__v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),__v=G.To(i))
    #define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
    #define FK(x) MEM(x,0)
    struct node
    {
        int l,r,id;
    }q[N];
    bool operator<(node a,node b) {return a.l>b.l;}
 
    int n,m;
    int a[N];
    void R1(int &x)
    {
        x=0;char c=getchar();int f=1;
        while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
        while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
        x=(f==1)?x:-x;
    }
    void Input()
    {  
        R1(n),R1(m);
        F(i,1,n) R1(a[i]);
        F(i,1,m)
        {
            int l,r;R1(l),R1(r);
            if (l>r) swap(l,r);
            q[i]=(node){l,r,i};
        }
    }
 
    int pos[N];
    int ans[N];
    vector<int> mul[N];
    void initmul()
    {
        F(i,1,n) pos[a[i]]=i;//存储每个数出现在哪个位置
        F(i,1,n) //由于我们要往右边找，所以要保证mul[i]的每个位置都>=i
        {
            for(int num=a[i];num<=n;num+=a[i])//对于每个倍数，我们都存储一下
            {
                if (pos[num]>=i)//如果在右边
                {
                    mul[i].push_back(pos[num]);//那就记录在i这里
                }
                else
                {
                    mul[pos[num]].push_back(i);//否则就记录在pos[num]这里，这样就是存因数了，所以我们就不需要再来一个循环存储因数了
                }
            }
        }
    }
    class BIT
    {
        public:
            int tree[N];
            int len;
            void BuildTree(int _len)
            {
                len=_len;
                FK(tree);
            }
            void Add(int pos,int val=1)
            {
                for(int i=pos;i<=len;i+=(i&(-i)))
                {
                    tree[i]+=val;
                }
            }
            int Query(int pos)
            {
                int ans=0;
                for(int i=pos;i>0;i-=(i&(-i)))
                {
                    ans+=tree[i];
                }
                return ans;
            }
    }T;
    void Soviet()
    {  
        initmul();
        sort(q+1,q+m+1);
        T.BuildTree(n);
        
        int Max=n+1;//上一个位置+1 （STL风
        F(i,1,m)
        {
            F(j,q[i].l,Max-1)//从上一个位置开始
            {
                F(k,0,(int)mul[j].size()-1)//找到每个能组成倍数的
                {
                    T.Add(mul[j][k],1);//在这里加上1
                }
            }
            ans[q[i].id]=T.Query(q[i].r);//然后[1,q[i].r]中的和就是倍数对的数量了
            Max=q[i].l;//这个别忘了
        }
 
        F(i,1,m) printf("%d\n",ans[i]);
    }
 
    #define Flan void
    Flan IsMyWife()
    {
        Input();
        Soviet();
    }
}
int main()
{
    Flandre_Scarlet::IsMyWife();
    getchar();getchar();
    return 0;
}