CodeForces 301D(树状数组)

本文介绍了一种利用离线处理和树状数组解决特定区间内整除对数计数问题的方法。通过离线处理优化查询顺序,减少重复计算,实现高效解决方案。

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题目链接:codeforces 301D

题意分析:
给你n , m两个数,1 ≤ n, m ≤ 2e5,n代表n个不同数字,且这些数字都在区间[ 1 , n ]之间,这就说明1~n每个数出现一次。m代表m次查询,查询格式为两个整数x , y,问你区间[ x , y ]之间有多少对数a , b满足a%b==0。

解题思路:
考察点是区间的频繁访问,马上想到线段树和树状数组,线段树太难写了没考虑过,就说说树状数组的思路吧。
1)离线处理:把所有的插叙全部读进来再按特定顺序处理。为了让树状数组求的和确确实实的是属于这个区间的,没有别的区间的干扰,我们按区间的左边界给区间排一次序,左边界大的先处理:

bool cmp(query a,query b){
    return a.x>b.x;
}

2)预处理:找到跟ai的所有可整除的数,根据索引大小保存在一个vector里面:

for(int i=1;i<=n;i++)
{
    for(int j=a[i];j<=n;j+=a[i])
    {
        if(p[j]>=i)
            vec[i].push_back(p[j]);
        else
            vec[p[j]].push_back(i);
    }
}

3)树状数组处理:有一个虚拟数组cnt
首先有一个maxx变量,来记录当前已经处理到哪了(从右到左处理,初始值为n+1),来达到避免重复计算的效果。把所有该加上的值先加上,在求和;如果之前已经加过了,不用加了,这里就需要maxx来判断了:

int maxx=n+1;
for(int i=0;i<m;i++)
{
    int x=q[i].x,y=q[i].y,len;
    for(int j=x;j<maxx;j++)
    {
        len=vec[j].size();
        for(int k=0;k<len;k++)
            add(vec[j][k],1);
    }
    ans[q[i].id]=sum(y);    //求和
    maxx=x;
}

AC代码:

#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int n,m,a[200005],p[200005],bit[200005],ans[200005];
vector<int> vec[200005];

struct query{
    int id,x,y;
}q[200005];

bool cmp(query a,query b){
    return a.x>b.x;
}

int lowbit(int num){
    return num&(-num);
}

int sum(int index)
{
    int res=0;
    for(int i=index;i>0;i-=lowbit(i))
        res+=bit[i];
    return res;
}

void add(int index,int delta){
    for(int i=index;i<=n;i+=lowbit(i))
        bit[i]+=delta;
}

int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        p[a[i]]=i;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=a[i];j<=n;j+=a[i])
        {
            if(p[j]>=i)
                vec[i].push_back(p[j]);
            else
                vec[p[j]].push_back(i);
        }
    }

    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        scanf("%d %d",&q[i].x,&q[i].y);
        if(q[i].y<q[i].x)
            swap(q[i].x,q[i].y);
        q[i].id=i;
    }   
    sort(q,q+m,cmp);

    int maxx=n+1;
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        int x=q[i].x,y=q[i].y,len;
        for(int j=x;j<maxx;j++)
        {
            len=vec[j].size();
            for(int k=0;k<len;k++)
                add(vec[j][k],1);
        }
        ans[q[i].id]=sum(y);
        maxx=x;
    }

    for(int i=0;i<m;i++)
        printf("%d\n",ans[i]);

    return 0;
}

总结:
1、离线处理+树状数组
2、注意查询的排序方式

树状数组(Fenwick Tree)是一种用于高效处理区间和查询的数据结构,常用于解一维数组的前缀和、区间更新和查询等问题。 在 Codeforces 上,树状数组常被用来解决一些与区间和查询有关的问题。它可以在 O(logn) 的时间内完成单点更新和查询,以及区间求和等操作。 下面是一个简单的示例代码,展示了如何实现一个基本的树状数组: ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; // 获取最低位的 1 int getLowbit(int x) { return x & -x; } // 树状数组的单点更新操作 void update(vector<int>& fenwick, int index, int delta) { while (index < fenwick.size()) { fenwick[index] += delta; index += getLowbit(index); } } // 树状数组的前缀和查询操作 int query(vector<int>& fenwick, int index) { int sum = 0; while (index > 0) { sum += fenwick[index]; index -= getLowbit(index); } return sum; } int main() { int n; cin >> n; vector<int> fenwick(n + 1, 0); // 初始化树状数组 for (int i = 1; i <= n; i++) { int val; cin >> val; update(fenwick, i, val); } // 进行查询操作 int q; cin >> q; while (q--) { int type; cin >> type; if (type == 1) { int index, delta; cin >> index >> delta; update(fenwick, index, delta); } else if (type == 2) { int l, r; cin >> l >> r; int sum = query(fenwick, r) - query(fenwick, l - 1); cout << sum << endl; } } return 0; } ``` 在这个示例中,我们使用了一个长度为 n 的数组 `fenwick` 来表示树状数组。`update` 函数用于更新树状数组中的某个元素,`query` 函数用于查询树状数组中某个区间的和。 你可以根据具体问题的要求进行相应的修改和扩展。希望对你有所帮助!如果有任何疑问,请随时提问。
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