Atcoder 1218 bzoj 4240 libreoj 2873 「JOISC 2014 Day1」有趣的家庭菜园题解

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该博客解析了一道编程竞赛题目，涉及到在序列中寻找满足特定条件的最少交换次数。通过倒序排序，逐个插入序列，并计算逆序对数量来找到最小交换次数。博主强调了在实现过程中需要注意的细节，特别是处理相同数值的情况和使用longlong类型避免溢出。

题意简述

给定一个序列 $a$ ，长度为 $n (< = 1 e 5)$ ，你珂以交换序列中的两个数，使得序列满足：对于每个点，要么它 $> =$ 所有左边的元素，要么它 $> =$ 所有右边的元素。（形象的说，就是一个山峰）输出最少的交换次数。记得开 $l o n g l o n g$ 。

思路

倒序排序，一个一个插入，判断是插入在左边还是插入在右边，记录逆序对个数，求出答案

具体思路

这个问题看起来不好直接求。确实，这种题如果第一次做的话，是很难想到做法的。

首先确定这样一个东西：交换次数=把原序列看成 ${1,2,3...n\}$ 之后交换得到的逆序对数。

然后我们要让这个值最小。接下来就是如何求这个最小了。

有这样一个模型，像这种要么左边，要么右边的题目，我们珂以这样考虑：

将 $a$ 序列倒序
初始序列为空
考虑我们新加入的元素 $a [i]$ 在最左边还是最右边，插入进去

正确性是显然的。由于我们在插入 $a [i]$ 的时候，所有数都是 $> = a [i]$ 的。所以我们不管插入在左边还是右边，还是能构成一个“山峰”。只不过是左边长还是右边长的问题了。

我们开一个结构体，把每个数按值（设为 $v_i$ ）排序，然后还要保留原来的位置（方便统计逆序数，设为 $p_i$ ）。

那么我们把 $a_i$ 插入在序列的最左边，花费就是新加入的逆序对数，也就是 $j∈[1,i−1]j\in [1,i-1]$ 中满足 $p_j<p_i$ 的 $j$ 的个数。同理，插入在最右边的代价就是 $j∈[1,i−1]j\in [1,i-1]$ 中满足 $p_j>p_i$ 的 $j$ 的个数。第一个很明显珂以用树状数组记录，设答案为 $s$ 。那么第二个就不用再去记录了，就是 $i - 1 - x$ 。 $i - 1$ 是数字的总数，由于 $p_i$ 显然不会有相等的情况，所以总数-小于的就是大于的。

然后比较一下是 $s$ 大还是 $i - 1 - s$ 大即珂，记录到答案。

注意，如果有连续的一段 $a_i$ 相等的话，那么要记得判一下。如果不判的话，我们就要记录一些类似“交换两个相同的数”的无用功了，就不一定最小。我们原来那个算法几乎完全是基于数值 $v_i$ 进行插入判断的， $p_i$ 只是起到答案的作用。所以即使是相同的 $v_i$ ，由于 $p_i$ 不同，我们也会认为这是不一样的数，然后还会记录答案。这很明显是不必要的。

实现注意

千万不要忘了开 $l o n g l o n g$ ！！！
千万不要忘了开 $l o n g l o n g$ ！！！
千万不要忘了开 $l o n g l o n g$ ！！！
千万不要忘了开 $l o n g l o n g$ ！！！
千万不要忘了开 $l o n g l o n g$ ！！！

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
	#define int long long 
	#define N 355555
	#define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
	#define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
	#define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
	#define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
	#define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),__v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),__v=G.To(i))
	#define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
	#define FK(x) MEM(x,0)
	class BIT
	{
	    public:
	        int tree[N];
	        int len;
	        void BuildTree(int _len)
	        {
	            len=_len;
	            FK(tree);
	        }
	        void Add(int pos,int val=1)
	        {
	            for(int i=pos;i<=len;i+=(i&(-i)))
	            {
	                tree[i]+=val;
	            }
	        }
	        int Query(int pos)
	        {
	            int ans=0;
	            for(int i=pos;i>0;i-=(i&(-i)))
	            {
	                ans+=tree[i];
	            }
	            return ans;
	        }
	}T;

	struct node
	{
		int h,pos;
	}a[N];
	bool operator<(node a,node b){return a.h>b.h;}
	int n;
	void R1(int &x)
	{
	    x=0;char c=getchar();int f=1;
	    while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
	    while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	    x=(f==1)?x:-x;
	}
	void Input()
	{
		R1(n);
		F(i,1,n)
		{
			R1(a[i].h);
			a[i].pos=i;
		}
	}

	void Soviet()
	{
		sort(a+1,a+n+1);
		T.BuildTree(n);

		int j;
		int ans=0;
		F(i,1,n)
		{
			j=i;
			while(a[j].h==a[j+1].h and j<n) ++j;
			F(k,i,j) ans+=min(T.Query(a[k].pos),i-1-T.Query(a[k].pos));
			F(k,i,j) T.Add(a[k].pos);
			i=j;
		}

		printf("%lld\n",ans);
	}
	void IsMyWife()
	{
		Input();
		Soviet();
	}
	#undef int //long long 
}
int main()
{
	Flandre_Scarlet::IsMyWife();
	getchar();getchar();
	return 0;
}2