MIT 18.06 linear algebra 第七课笔记

MIT 18.06 linear algebra 第七课笔记

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第七课课程要点如下：

• computing the nullspace(Ax=0)
• pivot variable free variable
• special solution

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当我们对一个线性方程组化简时可能会出现主元为0的情形：

$$A= \begin{bmatrix} 1&2&2&2\\ 2&4&6&8\\ 3&6&8&10\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&2&2&2\\ 0&0&2&4\\ 0&0&2&4\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&2&2&2\\ 0&0&2&4\\ 0&0&0&0\\ \end{bmatrix}\tag{1}$$
上式(1)中可以看出第二主元位置变为0，由于矩阵中(3,2)位置处的元素经过消元也变为0。从这些现象可以得出第二列其实是和第一列线性相关的（因为用第一行的元素减去下面各行，前两列的元素均变为0）。仔细观察第三个矩阵，可以发现第三个矩阵是一个阶梯型矩阵(echelon form)。第一列和第三列为主列（pivot column），第二列和第四列为自由列（free column）。矩阵$A$的秩（rank）为2。其中秩$r$等于列数减去自由变量的个数。
由于矩阵$A$有两个自由列，因此可以为这两个自由列对应的$x_2,x_4$分别赋值，然后求出对应的$x_1,x_3$。从式(1)中的第三个方程相当于解方程组：
$$\begin{cases} x_1+2x_2+2x_3+3x_4=0\\ 2x_3+4x_4=0 \end{cases}\tag{2}$$
令$x_2,x_4$分别为0，1可以得到特解为$\begin{bmatrix} -2\\1\\0\\0\end{bmatrix}$,如果令$x_2,x_4$分别为1，0。可以得到特解为$\begin{bmatrix} 2\\0\\-2\\1\end{bmatrix}$。那么$Ax=0$的解为：
$$x=c \begin{bmatrix} -2\\1\\0\\0\end{bmatrix}+d \begin{bmatrix} 2\\0\\-2\\1\end{bmatrix}\tag{3}$$
矩阵$A$中虽然包含三个方程，但其实只有两个是有效的。我们都知道要求解四个未知数至少要有四个方程才行。我们需要确定其他两个自由的未知数，那么主变量因此也就确定下来。

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我们依旧可以对式(1)中的第三个矩阵对应的方程组进行化简：

$$\begin{bmatrix} 1&2&2&2\\ 0&0&2&4\\ 0&0&0&0\\ \end{bmatrix}-> \begin{bmatrix} 1&2&0&-2\\ 0&0&1&2\\ 0&0&0&0\\ \end{bmatrix}\tag{4}$$
上面的式(4)第二个矩阵称之为行阶梯最简形式（reduced row echelon form）。主元为1且主元上下都为0。我们可以将行最简矩阵中主列和自由列抽取出来形成：
$$B= \begin{bmatrix} I&F\\ 0&0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \color{red}{1}&\color{red}0&\color{blue}2&\color{blue}{-2}\\ \color{red}0&\color{red}1&\color{blue}0&\color{blue}2\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}\tag{5}$$
上面的矩阵中将第二列与第三列交换了。那么$Bx=0$得到的解和$Ax=0$得到的解中$x_2,x_3$也相应产生了互换。$Bx=0$的特解可以表示为：$\begin{bmatrix}-F\\I\end{bmatrix}$。
再举一个例子：
$$A= \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 2&4&6\\ 2&6&8\\ 2&8&10 \end{bmatrix}-> \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 0&0&0\\ 0&2&4\\ 0&4&4\\ \end{bmatrix}-> \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 0&2&2\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\tag{6}$$
式(6)中矩阵的秩为2，$r=3-1$,方程组$Ax=0$的解为$c\begin{bmatrix}-1\\-1\\1\end{bmatrix}$。
式(6)中的矩阵$A$化为行最简矩阵为：
$$R= \begin{bmatrix} \color{red}1&\color{red}0&\color{blue}1\\ \color{red}0&\color{red}1&\color{blue}1\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}\tag{8}$$
矩阵$Ax=0$的解为零空间可以看成是：$c\begin{bmatrix}-F\\I\end{bmatrix}$。这里只有一个自由变量那么也就对应一阶的单位矩阵即$\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}$。矩阵$A$最终被化简为$RN=0$，其中$R$表示行最简矩阵，$N$表示零空间矩阵。