12、L-三格骨牌平铺与前缀弗雷歇相似度研究

L-三格骨牌平铺与前缀弗雷歇相似度研究

1. L-三格骨牌平铺问题

在平铺问题的研究中，涉及到多种类型的三格骨牌，如I - 三格骨牌和L - 三格骨牌。对于I - 三格骨牌和L - 三格骨牌的覆盖关系，有如下重要结论：
- 若一个区域R能用I - 三格骨牌覆盖，那么将区域R的每个单元格分割成四个新单元格后得到的区域R⊞能用L - 三格骨牌覆盖。但反之，在一般情况下是否成立尚不清楚。

有一个关键定理对此问题进行了部分解答：
- 定理7 ：设R是大小为n的连通区域，区域R⊞有L - 三格骨牌覆盖当且仅当3能整除n。
- 证明思路 ：若R⊞有L - 三格骨牌覆盖，显然3能整除n。反之，若3能整除n，对于有n个顶点的连通区域R，若存在一种方式将R分离成两个大小分别为n1和n2的连通子区域，且3能整除n1和n2，则称R是可分离的。可以证明，若R不可分离，则R⊞总能用L - 三格骨牌覆盖。为了构造R⊞的平铺，先将R递归地分离成连通子区域，直到所有子区域都不可分离，然后为每个不可分离的子区域构造L - 三格骨牌覆盖，最后将这些覆盖组合起来得到R⊞的覆盖。

此外，在研究L - 三格骨牌平铺任意区域的计算复杂度时，还发现了一些限制条件会使问题在计算上难以处理，同时也确定了一些存在高效平铺的具体实例。目前仍存在一些开放性问题：
|问题描述|具体情况|
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|用给定数量缺陷的L - 三格骨牌平铺阿兹特克矩形的难度|阿兹特克矩形有0或1个缺陷时，能用L - 三格骨牌在多项式时间内覆盖；一般情况下，当缺陷数量未知时，问题是NP完全的；当缺陷数量为2 +