11、L - 型三格骨牌平铺问题的研究

L - 型三格骨牌平铺问题的研究

1. 基础概念

在平铺问题的研究中，有一些基础概念需要明确：
- 区域与单元格 ：用 (Z) 表示整数集，([a, b]) 表示离散区间 ({a, a + 1, \ldots, b})。区域 (R) 是有限个相连单元格的并集，相连意味着区域内任意两个单元格共享一条公共边。若一个单元格是点集 ([a, a + 1]×[b, b + 1])，则用坐标 ((a, b)) 标记该单元格。两个单元格相邻是指它们坐标的曼哈顿距离（即 (L_1) 范数）为 1，对角的两个单元格不相邻。
- 三格骨牌 ：三格骨牌是由 3 个单元格组成的多格骨牌，一般有两种类型，L - 型三格骨牌（形状为 L 形）和 I - 型三格骨牌（形状为 I 形）。在多数情况下，主要研究 L - 型三格骨牌，简称为三格骨牌。
- 缺陷与覆盖 ：缺陷是指被“标记”的单元格，即不能在该单元格上放置三格骨牌。区域 (R) 的覆盖或平铺是指一组三格骨牌，它们能覆盖 (R) 中所有非缺陷单元格，且不重叠，每个三格骨牌都在 (R) 内。覆盖的大小是指其中骨牌的数量。
- 问题定义 ：
- TROMINO 问题 ：输入为带有缺陷的区域 (R)，若 (R) 有覆盖则输出“yes”，否则输出“no”。该问题已被证明是 NP - 完全问题，其计数版本 #TROMINO 是 #P - 完全问题。
- 180 - TROMINO 问题 ：输入同样为带有缺陷的区域 (R)