10、最大宽度空矩形环与L型三格骨牌平铺问题研究

最大宽度空矩形环与L型三格骨牌平铺问题研究

在计算几何领域，最大宽度空矩形环的计算以及区域用L型三格骨牌平铺的问题有着重要的研究价值。下面我们将详细探讨这两个问题的相关算法和结论。

最大宽度空矩形环计算

首先，我们来研究如何计算平面上一组点所对应的最大宽度空矩形环。

问题分析

设点集 (P) 中的点 (p_i) 位于矩形环 (A) 外矩形的顶边上。根据观察，外矩形的底边要么在无穷远处，要么存在另一个点 (p_j)（(i < j ≤ n)）位于该底边上。若底边在无穷远处，我们认为在 ((-y)) 方向无穷远处的点 (p_∞) 位于底边上。由于矩形环 (A) 是顶部锚定的，所以在其内部矩形的顶边上存在第三个点 (p_k)，并且矩形环 (A) 的宽度由 (p_i) 和 (p_k) 的 (y) 坐标差 (y(p_i) - y(p_k)) 决定。因此，顶部锚定的空矩形环的最大宽度是 (O(n^2)) 个值 ({y(p_i) - y(p_k) | 1 ≤ i ≤ k ≤ n}) 中的一个。

算法思路

为了计算最大宽度空矩形环，我们的算法分为以下两个步骤：
1. 对于每个 (p_i ∈ P)，找到外矩形顶边包含 (p_i) 的空矩形环 (A_i^ )，其宽度是集合 ({y(p_i) - y(p_k) | i < k ≤ n}) 中的最大值。
2. 从所有 (A_i^ ) 中输出宽度最大的矩形环。

为了计算 (A_i^*)，我们需要尝试所有可能界定外矩形底边的点 (p_j)。

决策算法（当顶边和底边两点固定时）