27、量子信息中的排列不变性、酉不变测度与测度集中现象

量子信息中的排列不变性、酉不变测度与测度集中现象

1. 可分态与Werner态、各向同性态

在量子信息理论中，存在一些关于可分态的重要结论。对于特定的态，如果它是可分态，那么对于任意的 $\alpha \in [0, 1]$，与之相关的态（7.186）同样是可分态。等价地，Werner态
[
\lambda \Pi_0 \left(\frac{n + 1}{2}\right) + (1 - \lambda) \Pi_1 \left(\frac{n}{2}\right)
]
在 $\lambda \in [1/2, 1]$ 时是可分的。该态的部分转置为
[
\frac{2\lambda - 1}{n} \Delta_0 + \left(1 - \frac{2\lambda - 1}{n}\right) \frac{\Delta_1}{n^2 - 1}
]
由于在 $\lambda \in [1/2, 1]$ 时该态可分，所以其部分转置也可分。由此可推出，各向同性态
[
\lambda\Delta_0 + (1 - \lambda) \frac{\Delta_1}{n^2 - 1}
]
在 $\lambda \in [0, 1/n]$ 时是可分的。

2. 酉不变测度的应用

2.1 量子de Finetti定理

直观来讲，量子de Finetti定理指出，如果一组相同寄存器的态是可交换的，那么其中任意少量寄存器的约化态必定接近相同乘积态的凸组合。下面详细阐述该定理及其证明：
- 定理7.26