25、量子物理中的纠缠与不变性研究

量子物理中的纠缠与不变性研究

1. 二部纠缠相关问题

在量子物理中，存在着不同类型的量子态，如$\rho_0$和$\rho_1$是 Werner 态，而$\sigma_0$和$\sigma_1$是各向同性态。这里有两个重要的证明问题：
- 问题 (a) ：若测量$\mu: {0, 1} \to Pos(X \otimes Y)$满足$\mu(0), \mu(1) \in PPT(X : Y)$，则有$\frac{1}{2}\langle\mu(0), \rho_0\rangle + \frac{1}{2}\langle\mu(1), \rho_1\rangle \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{n + 1}$，并且存在一个 LOCC 测量$\mu$使得该不等式取等号。
- 问题 (b) ：若测量$\nu : {0, 1} \to Pos(X \otimes Y)$满足$\nu(0), \nu(1) \in PPT(X : Y)$，则有$\frac{1}{2}\langle\nu(0), \sigma_0\rangle + \frac{1}{2}\langle\nu(1), \sigma_1\rangle \leq 1 - \frac{1}{2n + 2}$，并且存在一个 LOCC 测量$\nu$使得该不等式取等号。

另外还有一个练习问题：设$N$和$m$为正整数，假设有酉算子和厄米算子$U_0, \cdots, U_{2m} \in L(C^N)$，它们两两反对易，即对于不同的$j, k \in {0, \cdots, 2m}$，有$U_jU_k = -U_kU_j$。需要证明集合$