22、基于图分解计算图的度量维度

基于图分解计算图的度量维度

1. 图的度量维度问题概述

图的度量维度问题在多个研究领域有着重要影响，如化学、机器人学、组合优化和传感器网络等。对于一般图、平面图，甚至最大度为 6 的图和 Gabriel 单位圆盘图，判断给定图 $G$ 的度量维度是否至多为给定整数 $k$ 是一个 NP 完全问题。不过，对于一些特殊类型的图，如树、轮图、$k$-正则二部图等，可以在多项式时间内计算其度量维度。

2. 基本定义和术语

• 图的基本概念
  • 图 $G = (V, E)$，其中 $V$ 是顶点集，$E$ 是边集。分为无向图（$E \subseteq { {u, v} | u, v \in V, u \neq v}$）和有向图（$E \subseteq V \times V$）。
  • 子图：图 $G’ = (V’, E’)$ 是 $G$ 的子图，若 $V’ \subseteq V$ 且 $E’ \subseteq E$；若 $E’ = E \cap { {u, v} | u, v \in V’}$ 或 $E’ = E \cap (V’ \times V’)$，则 $G’$ 是 $G$ 的诱导子图。
  • 路径：序列 $(u_1, \ldots, u_{k + 1})$，$k \geq 0$，若 ${u_i, u_{i + 1}} \in E$ 则为长度为 $k$ 的无向路径；若 $(u_i, u_{i + 1}) \in E$ 则为长度为 $k$ 的有向路径。简单路径是所有顶点互不相同的路径。