26、排列不变性与酉不变概率测度

排列不变性与酉不变概率测度

1. 排列不变向量与算子

在量子信息理论中，排列不变性是一个重要的概念，它涉及到向量和算子在排列操作下的不变性。

1.1 反对称子空间的维度

设 (X) 是一个复欧几里得空间，(n) 是一个正整数。对于满足 (b_1 < \cdots < b_n) 的 (n) 元组 ((b_1, \cdots, b_n) \in \Sigma_n)，有如下关系：
(\Pi_X \wedge^n(e_{a_1} \otimes \cdots \otimes e_{a_n}) = \Pi_X \wedge^nW_{\pi}(e_{b_1} \otimes \cdots \otimes e_{b_n}) = \text{sign}(\pi)\Pi_X \wedge^n(e_{b_1} \otimes \cdots \otimes e_{b_n}) = \text{sign}(\pi)\sqrt{n!}u_{b_1, \cdots, b_n})
由此可得：
(\text{im}(\Pi_X \wedge^n) \subseteq \text{span}{u_{a_1, \cdots, a_n} : (a_1, \cdots, a_n) \in \Sigma_n, a_1 < \cdots < a_n})
这表明反对称子空间的维度等于满足 (a_1 < \cdots < a_n) 的 (n) 元组 ((a_1, \cdots, a_n) \in \Sigma_n) 的数量，即：
(\dim(X \wedge^n) = \binom{\dim(X)}{n})

1.2 排