两数组和的差最小问题

题目来源于传说中的华为面试题：

有两个长度都为 n 的数组，分别为 a，b。数组元素类型为整型，值任意且无序。要求通过交换 a，b 数组的元素，使得数组 a 的和与数组 b 的和的差最小。

  这个题目网上很多博客给出的一种解法都是错的，他们的思路是每次交换一对数据，如果交换能使得差变小就交换，否则就不交换。这个解法简单直观，其实本来目的就是穷举。可是本题却存在这种情况，即找不到任何一对数据的交换使得差变小（这也是上面算法的停止条件），但存在同时交换多对数据使得差变小的情况。
  网上的这个主流解法错就错在没有考虑同时交换多对数据的情况，下面我将介绍本题的一种使用动态规划的解法。

使用动态规划求解

  把原问题看作：有 2n 个非负整数（题目给的条件是值任意，后面我会介绍转换方法），和为 $S_{2n}$，我们要在 2n 个数中选出 n 个数，使得这 n 个数的和 $S_n$ 满足：$$min(\frac{S_{2n}}{2}-S_n)$$

描述为背包问题就是：

从 2n 件物品中选出 n 件物品，放入容量为 $\frac{S_{2n}}{2}$ 的背包中，使得背包装的东西尽可能的多。（把第 i 个元素的值，既看作第 i 件物品的开销也看作第 i 件物品的价值）

  这其实是一个在普通的 0-1 背包上多加了一个限制条件的背包问题，多加了放入背包物品的数量的限制。
  我们可以在原来的基础上增加一维以满足新的限制。

状态转移方程：

  设 f[i][j][v] 表示前 i 件中选出 j（j <= i）件放入容量为 v 的背包中所能获得的最大价值，a[i] 为第 i 个元素的值。
f [ i ] [ j ] [ v ] = m a x { f [ i − 1 ] [ j ] [ v ] , f [ i − 1 ] [ j − 1 ] [ v − a [ i ] ] + a [ i ] } f[i][j][v]=max\{f[i-1][j][v],f[i-1][j-1][v-a[i]]+a[i]\} f[i][j][v]=max{f[i−1][j][v],f[i−1][j−1][v−a[i]]+a[i]}
  空间优化后为：
f [ j ] [ v ] = m a x { f [ j ] [ v ] , f [ j − 1 ] [ v − a [ i ] ] + a [ i ] } f[j][v]=max\{f[j][v],f[j-1][v-a[i]]+a[i]\} f[j][v]=max{f[j][v],f[j−1][v−a[i]]+a[i]}

数据预处理（填坑）

本题满足平移不变性，即所有元素加上或减去一个整数，两数组和的差不变。

  我们可以利用这个性质，将所有元素都减去 2n 个元素中的最小值。

• 好处一：如果 2n 个元素中存在负数，则最小值必然是负数，减去这个负数，可以使得所有元素非负，进而可以使用背包求解。
• 好处二：如果 2n 个元素本来就是正数，则全部都减一个最小值，可以减小背包容量，从而降低求解的空间复杂度。

参考代码：

#include<stdio.h>
#define LEN 8
int select(int *a) {
	int i, j, v;
	int imax = LEN;
	int jmax = imax / 2;
	int suma = 0;
    // 求和
	for (i = 0; i < LEN; i++){
		suma += a[i];
	}
	int vmax = suma / 2;
	int dp[jmax + 1][vmax + 1], sel[jmax + 1][vmax + 1];
    // 初始化
	for (j = 0; j <= jmax; j++){
		for (v = 0; v <= vmax; v++){
			if (j == 0){
				dp[j][v] = 0;
			}
			else{
				dp[j][v] = -1;
			}
			sel[j][v] = 0;
		}
	}
    // i 从 1 开始而不是从 0，是为了避免 j-1<0 越数组下界的情况
	for (i = 1; i <= imax; i++){
        // 因为 dp 数组减少了一维，又因为物品不能重复放入，所以要从后向前遍历更新
		for (j = i > jmax ? jmax : i; j >= 1; j--){
			for (v = a[i - 1]; v <= vmax; v++){
				if (dp[j - 1][v - a[i - 1]] < 0) continue;
				else if (dp[j - 1][v - a[i - 1]] + a[i - 1] > dp[j][v]){
					dp[j][v] = dp[j - 1][v - a[i - 1]] + a[i - 1];
                    // 记录此时放入背包中的物品
					sel[j][v] = sel[j - 1][v - a[i - 1]] | (1 << (i - 1));
				}
			}
		}
	}
	printf("分配后两数组和的差为：%d", suma - 2*dp[jmax][vmax]);
	return sel[jmax][vmax];
}

void outputGroup(int *a, int sel) {
	printf("\n数组a的元素分别为：");
	for (int i = 0; i < LEN; i++){
		if (sel & (1 << i)){
			printf("%d ", a[i]);
		}
	}
	putchar('\n');
}

int main() {
    // 测试数据
	int arry[LEN] = { 54, -58, 22, 49, 64, -21, 33, 90 };
	int a[LEN];
	for (int i = 0; i < LEN; i++){
		a[i] = arry[i];
	}
    // 下面对所有数据进行预处理，减去最小值
	int min = a[0];
	for (int i = 1; i < LEN; i++){
		if (a[i] < min){
			min = a[i];
		}
	}
	for (int i = 0; i < LEN; i++){
		a[i] -= min;
	}
    // 输出选出的 a 数组，剩下元素属于 b 数组
	outputGroup(arry, select(a));
	return 0;
}

代码运行结果为：