初等数论 2.2 同余

定义：设$m\in {\mathbb{Z}}^{+}a,b\in \mathbb{Z}$，若$a,b$被$m$除所得到的余数相同，则称$a$与$b$模$m$同余，记作$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$.否则称$a$与$b$模$m$不同余，记作$a̸\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$.
定理：设$m\in {\mathbb{Z}}^{+}a,b\in \mathbb{Z}$，则$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$当且仅当$\exists q\in \mathbb{Z}a=mq+b$当且仅当$m\mid (a-b)$.
定理：同余是一种等价关系.

即1.反身性：$a\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$.
2.对称性：若$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，则$b\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$.
3.传递性：若$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)b\equiv c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，则$a\equiv c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$.

定理：关于同余的一些性质：设$a_1\equiv b_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)a_2\equiv b_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，则
1.$a_1\pm a_2\equiv b_1\pm b_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$.
2.$c{a}_1\equiv c{b}_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)\forall c\in \mathbb{Z}$.
3.$k{a}_1\equiv k{b}_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}km)\forall k\in {\mathbb{Z}}^{+}$.
4.$a_1{a}_2\equiv b_1{b}_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$.
一般地，若$a_k\equiv b_k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)k=1,2,\cdots ,n$，则
1.$\sum _{k=1}^n{a}_k\equiv \sum _{k=1}^n{b}_k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$.
2.$\prod _{k=1}^n{a}_k\equiv \prod _{k=1}^n{b}_k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$.
2’.若$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，则$a^n\equiv b^n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)\forall n\in {\mathbb{Z}}^{+}$.
推论：设$a_i,b_i(0\le i\le n),u,v\in \mathbb{Z}$，若$a_i\equiv b_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)\forall 0\le i\le n,u\equiv v(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，则$$\sum _{i=0}^m{a}_i{u}^i\equiv \sum _{j=0}^n{b}_j{v}^j(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$$特别地，对于整系数多项式$f(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0$，有$f(n)\equiv f(v)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$.
定理：同余对除法的性质：
1.若$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m),d\mid m,d>0$，则$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d)$.
2.若$a_1{a}_2\equiv b_1{b}_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m),a_2\equiv b_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$且$(a_2,m)=1$，则$a_1\equiv b_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$.
3.若$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m),d\mid (a,b,m),d>0$，则$\frac{a}{d}\equiv \frac{b}{d}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\frac{m}{d})$.
4.若$(a,m)=1$，则$\exists b\in \mathbb{Z}$，使得$ab\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$.
定义：若$(a,m)=1$，称满足$ab\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$的整数$b$为$a$对模$m$的逆，记为$a^{-1}$.
定理：同余式$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)i=1,2,\cdots ,n$同时成立当且仅当$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}[m_1,m_2,\cdots ,m_n])$.