矩阵的运算(1)

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分类专栏：线性代数-基础文章标签：数学

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本文深入讲解了矩阵的三种基本运算：加法、数乘和乘法。详细解释了同型矩阵加法、矩阵数乘及矩阵乘法的规则，探讨了矩阵运算的性质，如负矩阵、矩阵减法及乘法的条件。

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矩阵的三种基本运算：

矩阵的加法
对于两个同型矩阵 $A$ 和 $B$
$A = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ a 11 a 21 ⋮ a m 1 a 12 a 22 ⋮ a m 2 \dots \dots \dots a 1 n a 2 n ⋮ a m n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥, B = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ b 11 b 21 ⋮ b m 1 b 12 b 22 ⋮ b m 2 \dots \dots \dots b 1 n b 2 n ⋮ b m n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥$ $A=\left[ \begin{matrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } & \cdots & { a }_{ 1n } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } & \cdots & { a }_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ { a }_{ m1 } & { a }_{ m2 } & \cdots & { a }_{ mn } \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} { b }_{ 11 } & { b }_{ 12 } & \cdots & { b }_{ 1n } \\ b_{ 21 } & b_{ 22 } & \cdots & b_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{ m1 } & b_{ m2 } & \cdots & b_{ mn } \end{matrix} \right]$ 定义矩阵 $⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ a 11 + b 11 a 21 + b 21 ⋮ a m 1 + b m 1 a 12 + b 12 a 22 + b 22 ⋮ a m 2 + b m 2 \dots \dots \dots a 1 n + b 1 n a 2 n + b 2 n ⋮ a m n + b m n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥$ $\left[ \begin{matrix} { a }_{ 11 }+{ b }_{ 11 } & { a }_{ 12 }+{ b }_{ 12 } & \cdots & { a }_{ 1n }+{ b }_{ 1n } \\ { a }_{ 21 }+{ b }_{ 21 } & { a }_{ 22 }+{ b }_{ 22 } & \cdots & { a }_{ 2n }+{ b }_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ { a }_{ m1 }+{ b }_{ m1 } & { a }_{ m2 }+{ b }_{ m2 } & \cdots & { a }_{ mn }+{ b }_{ mn } \end{matrix} \right]$ 为同型矩阵 $A$ 与 $B$ 的和，记做 $A+B$ .
其中，若 $A+B=0$ ，则 $A$ 和 $B$ 互为负矩阵，记做 $B=-A$ .
定义矩阵减法为 $C - D = C + (- D)$ $C-D=C+(-D)$
矩阵的数乘
用任意复数 $k$ 乘一个矩阵 $A$ （我们只讨论复数域里的情况），将矩阵中的每一个元素 ${ a }_{ ij }$ 和 $k$ 相乘，得到一个和 $A$ 同型的矩阵： $k \cdot A = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ k \cdot a 11 k \cdot a 21 ⋮ k \cdot a m 1 k \cdot a 12 k \cdot a 22 ⋮ k \cdot a m 2 \dots \dots \dots k \cdot a 1 n k \cdot a 2 n ⋮ k \cdot a m n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥$ $k\cdot A=\left[ \begin{matrix} k\cdot { a }_{ 11 } & k\cdot { a }_{ 12 } & \cdots & k\cdot { a }_{ 1n } \\ k\cdot { a }_{ 21 } & k\cdot { a }_{ 22 } & \cdots & k\cdot { a }_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ k\cdot { a }_{ m1 } & k\cdot { a }_{ m2 } & \cdots & k\cdot { a }_{ mn } \end{matrix} \right]$
矩阵的乘法
如果一个矩阵的列数和另一个矩阵的行数相等 $A = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ a 11 a 21 ⋮ a m 1 a 12 a 22 ⋮ a m 2 \dots \dots \dots a 1 s a 2 s ⋮ a m s ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥, B = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ b 11 b 21 ⋮ b s 1 b 12 b 22 ⋮ b s 2 \dots \dots \dots b 1 n b 2 n ⋮ b s n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥$ $A=\left[ \begin{matrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } & \cdots & { a }_{ 1s } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } & \cdots & { a }_{ 2s } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ { a }_{ m1 } & { a }_{ m2 } & \cdots & { a }_{ ms } \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} { b }_{ 11 } & { b }_{ 12 } & \cdots & { b }_{ 1n } \\ b_{ 21 } & b_{ 22 } & \cdots & b_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{ s1 } & b_{ s2 } & \cdots & b_{ sn } \end{matrix} \right]$ 则两个矩阵可以进行矩阵的乘法运算，乘积为一个 $m\times n$ 矩阵 $A \times B = C = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ c 11 c 21 ⋮ c m 1 c 12 c 22 ⋮ c m 2 \dots \dots \dots c 1 n c 2 n ⋮ c m n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥$ $A\times B=C=\left[ \begin{matrix} { c }_{ 11 } & c_{ 12 } & \cdots & { c }_{ 1n } \\ c_{ 21 } & c_{ 22 } & \cdots & c_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{ m1 } & c_{ m2 } & \cdots & c_{ mn } \end{matrix} \right]$ 其中 $C$ 中的元素 $c_{i j} = \sum_{k = 1}^{s} a_{i k} b_{k j}, i = 1, 2, \dots m; j = 1, 2, \dots, n$ ${ c }_{ ij }=\sum _{ k=1 }^{ s }{ { a }_{ ik }{ b }_{ kj } } ,i=1,2,\cdots m;j=1,2,\cdots ,n$

注意：只有当 $A$ 的列数等于 $B$ 的行数时，才能进行乘法运算.得到的乘积矩阵 $C$ 行数和 $A$ 相等，列数和相等.

思考：矩阵乘法是否满足类似于复数的交换律，结合律，分配律？

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