CodeForces - 711D

最新推荐文章于 2022-06-09 02:00:58 发布

Ivanzn

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CC 4.0 BY-SA版权

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Ivanzn/article/details/89462447

本文介绍了一种算法，用于计算有向图中所有可能的无环路径数量。通过深度优先搜索（DFS）判断环的存在，并使用快速幂算法进行高效计算。详细解释了如何标记节点以避免重复计算，确保了算法的时间复杂度为O(n)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目意思：

给你一个有向图，顶点从1到n编号。

边的形式是：

1->x1

2->x2

...

n->xn

x1,x2..xn是1到n

问，若可以改变边的方向，那么有多少种有向图满足途中没有循环路径？

显然，答案 = 2*（连通环1边数-2）* 2*（连通环2边数-2）.... *2^ (不构成连通环的边数)

接下来，就是bfs判环

在本题中，图中存在环的条件是由一起点搜索下去可构一回路，因此，只要设置每个点的原始起点即可（类似于并查集）

#include <bits/stdc++.h>
#define MOD 1e9+7
using namespace std;
const int N = 200050;
typedef long long ll;
int father[N],cnt[N];///标记结点是否被访问过
int n,p,q,a[N];///p是构成环的边数，q是不构成环的边数
ll ans;

ll q_pow(ll a,ll b,ll c)
{
    ll ans = 1;
    while(b){
        if(b&1) ans = ans * a %c;
        a = a * a % c;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

void dfs(int depth,int now,int fa)
{
    father[now] = fa;
    cnt[now] = depth;
    if(!father[a[now]]) dfs(depth+1,a[now],fa);
    else if(father[a[now]] == fa){
        p += cnt[now] - cnt[a[now]] + 1;
        ans = ans * (q_pow(2,(cnt[now] - cnt[a[now]] + 1),MOD) - 2);
    }
}

int main()
{
    ans = 1;
    memset(cnt,0,sizeof(cnt));
    memset(father,0,sizeof(father));
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1;i <= n;++ i)
        scanf("%d",&a[i]);

    p = q = 0;
    for(int i = 1;i <= n;++ i){
        if(father[i])  continue;
        else
            dfs(0,i,i);
    }
    q = n - p;
    ans = ans * q_pow(2,q,MOD);
    printf("%lld\n",ans);
}

因为标记了每个点，因此，时间复杂度就是O(n)