CodeForces 711 D.Directed Roads（组合数学）

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组合数学

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探讨一种算法，用于计算通过反转有向图中部分边的方向，使其变为无环图的所有可能方案数量。该算法利用DFS寻找环，并确定反转方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出一个 $n$ 个点 $n$ 条边的有向图，第 $i$ 个点连向第 $p_i$ 个点，现可以给边集的一个子集进行反转，即改变有向边的方向，问有多少种方案可以使得该有向图无环

Input

第一行一整数 $n$ ，之后输入 $n$ 个整数 $p_i$ 表示 $i$ 到 $p_i$ 有一条有向边 $(2\le n\le 2\cdot 10^5,1\le p_i\le n,p_i\neq i)$

Output

输出方案数，结果模 $10^9+7$

Sample Input

3
2 3 1

Sample Output

Solution

由于每个点的出度只有 $1$ ，故不会出现两个环有交集的情况，也不会出现对某个环反转后与原先一些非环边组成新环的情况，故对每个环单独破坏即可，一个长度为 $x$ 的环，现在要给其反转，只要不是不反转或者全部反转，均可破坏该环，方案数为 $2^x-2$ ，而对于非环边，反不反转不影响，假设有 $y$ 条非环边，则方案数为 $2^y$ ，找环直接 $dfs$ 给每个点打标记并记录该点与起点的距离即可，当前访问的点之前被标记过说明成环，当前距离减去之前到该点的距离即为环的大小

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=200005;
#define mod 1000000007
int n,p[maxn],f[maxn],num,ans,vis[maxn],dep[maxn];
void dfs(int u,int cnt,int tar)
{
    dep[u]=cnt;
    vis[u]=tar;
    if(!vis[p[u]])dfs(p[u],cnt+1,tar);
    else if(vis[p[u]]==tar)
    {
        num-=(cnt-dep[p[u]]+1);
        ans=(ll)ans*(f[cnt-dep[p[u]]+1]+mod-2)%mod;
    }
}
int main()
{
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=2e5;i++)f[i]=2*f[i-1]%mod;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&p[i]);
        num=n;ans=1;
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(!vis[i])dfs(i,1,i);
        ans=(ll)ans*f[num]%mod;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}