积分上限函数求导总结

最新推荐文章于 2024-06-15 22:36:45 发布

陌雨’

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分类专栏：微积分文章标签：线性代数几何学算法

抓住一只白嫖怪(｀・ω・´)

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本文详细介绍了积分上限函数的求导法则，包括基本的Leibniz积分法则和特殊变换如换元法的应用。通过两个具体的例子展示了如何利用这些法则解决复杂的积分问题。此外，还提到了一个更高级的公式，对于理解和应用积分上限函数的求导具有指导意义。

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情形一：

$\frac{\rm{d}}{{\rm d}\,x}\int_0^xf(t){\rm d}\,t=f(x)$

情形二：

$\frac{\rm{d}}{{\rm d}\,x}\int_0^{g(x)}f(t){\rm d}\,t=f(g(x))g'(x)$

情形三：

$\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_0^xf(x-t){\rm d}\,t&\xlongequal{{\text 令}u=x-t}\\ &=\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_x^0f(u){\rm d}\,-u\\ &=\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_0^xf(u){\rm d}\,u=f(x) \end{aligned}$
不是每一道题都要像此处令 $u = x - t$ ，应根据实际情况做适当换元。

例一：

$\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_0^xtf(2x-t){\rm d}\,t &\xlongequal{{\text 令}u=2x-t}-\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_{2x}^x(2x-u)f(u){\rm d}\,u\\ &=\frac{\rm d}{{\rm d}x}2x\int_x^{2x}f(u){\rm d}\,u-\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_x^{2x}uf(u){\rm d}\,u\\ &=2\int_x^{2x}f(u){\rm d}\,u+4xf(2x)-2xf(x)-4xf(2x)+xf(x)\\ &=2\int_x^{2x}f(u){\rm d}\,u-xf(x) \end{aligned}$

例二：

$\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_0^{3x^2}\ln\sqrt{t+x^2}{\rm d}\,t&\xlongequal{{\text 令}u=t+x^2}\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_{x^2}^{4x^2}\ln\sqrt{u}{\rm d}\,u\\ &=8x\ln2x-2x\ln x \end{aligned}$