含参积分求导/积分上限函数求导/

最新推荐文章于 2023-12-23 18:12:51 发布
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抓住一只白嫖怪(｀・ω・´)

该博客探讨了一个数学定理，涉及闭矩形上连续函数的可变上限积分与函数可导性的关系。通过举例说明，解释了如何利用积分求导法则计算函数的导数，展示了一个具体的积分求导过程，帮助读者理解这一抽象概念。

定理： 设 f(x,y),fy(x,y)f(x,y),f_y(x,y)f(x,y),fy​(x,y) 都是闭矩形 [a,b]×[c,d][a,b]\times [c,d][a,b]×[c,d],上的连续函数，又设 a(y),b(y)a(y),b(y)a(y),b(y) 是在 [c,d][c,d][c,d] 上的可导函数，满足 a⩽a(y)⩽b,a⩽b(y)⩽ba\leqslant a(y)\leqslant b,a\leqslant b(y)\leqslant ba⩽a(y)⩽b,a⩽b(y)⩽b，则函数

F(y)=∫a(y)b(y)f(x,y)dxF(y)=\int_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)\mathrm{d}xF(y)=∫

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变上限积分求导公式(通用公式)
zlc_abc的博客
06-05 1万+
Leibniz integral rule. Let f(x,t)f(x, t)f(x,t) be a function such that both f(x,t)f(x, t)f(x,t) and its partial derivative f(x,t)f(x, t)f(x,t) are continuous in ttt and xxx in some region of the (x,t)(x, t)(x,t)-plane, including a(x)≤t≤b(x)a(x) ≤ t ≤ b(x)a
积分上限函数求导总结
陌雨’的博客
02-24 2万+
笔记
含参变量积分-Leibniz法则
weixin_34281477的博客
07-05 6190
定理3,5参考同济下册。 下面的求导-》 三重积分可以化为累次积分经过过2次累次积分后，三重积分对dt的导数形式就等价于定理3了
数学分析：含参变量的积分
yxriyin的专栏
10-09 5330
最后我们得到了一个卷积的公式。一般，我们可以认为，对于原始函数f(t),我们通过引入了一个脉冲函数，实际也引入了一个额外的时间平移变量。重点来了，我们一个普通的信号f，可以看成分段函数，而当分段趋于无穷的时候，分段函数就趋于f，而这个分段函数，可以用脉冲函数求和来表示。这个的意思是说，一些函数可能不是无限次可微的，那么我们把它和某个 特定的函数卷积后，就可以得到一个无限次可微的函数，而且他是逼近原始函数的。这里要注意变量的区别，首先积分的被积变量是x，但是函数的变量是y，y是参数，所以叫做带参数的积分。
积分上限函数的导数例题 笔记
xxx_tention的博客
01-05 5866
大一 一月四号刷题中
含参变量积分法
ResumeProject的博客
09-09 5114
罗巴切夫斯基积分法p66
积分上限函数求导MATLAB在解函数和求导等方面的应用MATLAB在解函数和求导等方面的应用.pdf
03-14
【积分上限函数求导MATLAB在解函数和求导等方面的应用】 MATLAB是数学和工程领域广泛应用的一款强大软件，尤其在数值计算、符号计算、数据分析和可视化等方面具有显著优势。在处理积分上限函数求导这类问题时，...
MATlab_diff_int.rar_MATLAB的int和diff_int积分函数_matlab 求导_求导 matlab_
09-20
其中，`fun`是需要积分的函数，`x`是积分变量，`a`和`b`分别是积分的下限和上限。例如，计算函数`f(x) = x^2`在区间`[0,1]`上的积分，可以这样写： ```matlab y = int(@(x) x^2, 0, 1); ``` `int`函数还可以处理更...
Part 12(2) 含参广义积分（含参无穷积分和瑕积分）
hnZone
05-21 5689
含参积分是一类包含积分结构的函数，但积分变量不是函数自变量。本节讲述含参变量积分的一般理论，并以无穷积分和瑕积分为例，对含参积分的收敛性及其判定以及分析性质进行讨论。
变限积分求导（带参，极限）
m0_73636387的博客
12-23 974
方法方法一般形带参数方程形带极限型。
定积分求导例题_从命题人的一段话来谈对坐标的曲线积分计算
weixin_36128925的博客
12-31 2304
0.内容综述命题人的一段话，分析平面坐标对坐标曲线积分的常见考点定义与性质(与路径方向有关)计算方法4种：直接参数法，格林公式法，补线用格林与换线或挖洞用格林，与路径无关；以及方法如何进行选择；典型条件剖析与证明题思路品系前命题人的两段话第一部分第二部分第三部分第四部分第五部分请仔细体会这个命题过程解析，提供了6个考察方向，5种计算方法，真题一般包含了3-5个知识点的综合；在此从这6个角度，为了简...
变限积分的求导公式_20160426
The blog of XMAN
05-02 1万+
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（数学分析复习）含参量积分总结
zorchp
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总结一下含参量正常积分、含参量反常积分、Euler积分，这部分内容主要为曲线积分曲面积分以及多重积分做铺垫。
含参积分定理总结
Deep_Thinking的博客
04-08 1887
有关含参积分的连续、一致连续、积分、求导的定理与简单证明
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线性代数————思维导图（上岸必备）(二次型)
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06-04 7654
该思维导图为线性代数二次型的大纲以及基本解题思路，内容较为详细。该思维导图为本人依照张宇闭关修炼2020所制作，希望能帮助大家顺利上岸
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你的打赏是我奋笔疾书的动力！​ 陈纪修版的数学分析教材编的真是井井有条，在编排逻辑上承前启后，环环相扣，可以说是若没有对数学分析大量的涉猎，就不会有今天的井井有条。 最近在捣鼓一个数学分析中重要的分析工具------含参变量的积分，一些关于参数的一致收敛的良好的性质性定理，证明都是转换为函数项级数的一致收敛，从而得证和函数项级数一致收敛类似的良好性质。下面就一些含参变量的反常积...
数学分析 含参量积分(第19章)
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08-19 4301
一.含参量正常积分 二.含参量反常积分 1.一致收敛性及其判别法 2.含参量反常积分的性质 三.欧拉积分 1.ΓΓΓ函数 2.BBB函数 3.ΓΓΓ函数与BBB函数间的关系
【数学建模】（五）：MATLAB程序设计与积分
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09-07 781
【数学建模】（五）：MATLAB程序设计与积分.M文件命令文件函数文件积分专题 .M文件 命令文件 输入M的文件名，自动运行 函数文件 %f.m function y=f(x) if x<-1 y=3*x+2 elseif -1<=x<=1 y=x; else y=2*x end y=f(0) %调用 积分专题 ...
变上限积分求导公式
最新发布
03-20
<think>好的，我现在需要处理用户关于变上限积分求导公式的查询。用户想了解这方面的数学知识，属于微积分范畴。首先，我得回忆一下变上限积分的基本概念和求导规则，确保自己理解正确。 变上限积分，也就是积分上限是一个变量的函数，比如∫ₐˣ f(t)dt，这里x是变量。根据微积分基本定理，这类积分的导数就是被积函数在积分上限处的值，也就是f(x)。不过，可能用户还关心更复杂的情况，比如积分上限是x的函数，或者被积函数中也含有x的情况。这时候可能需要用到莱布尼兹规则。 接下来，我需要确认是否需要区分不同情况下的求导方法。比如，当积分上限是x的函数时，比如∫ₐ^{u(x)} f(t)dt，这时候导数应该是f(u(x))乘以u'(x)，这是链式法则的应用。另外，如果被积函数中也含有x，比如∫ₐˣ f(x,t)dt，这时候可能需要将x视为既出现在积分上限又被积函数中的变量，这时候应该用莱布尼茨公式，即导数是f(x,x)加上∫ₐˣ ∂f/∂x dt。 然后，我需要检查是否有常见的错误或需要注意的地方。例如，当积分上下限都是关于x的函数时，或者当被积函数本身有变量x时，如何处理。这时候可能需要分情况讨论，并给出相应的例子。 用户可能需要具体的例子来理解这些公式的应用，所以准备一些示例可能会有帮助。例如，对于简单的变上限积分，如∫₀ˣ t² dt，导数是x²。再比如，当上限是sinx时，∫₀^{sinx} e^t dt的导数就是e^{sinx}乘以cosx。而如果被积函数中有x，比如∫₀ˣ x*t dt，这时候x可以提到积分号外，变成x*∫₀ˣ t dt，求导时需要同时考虑乘积法则，或者更一般地应用莱布尼茨规则。 此外，可能需要提及变下限积分的情况，这时候会有负号出现，因为上下限交换了位置。比如∫ₓᵇ f(t)dt的导数是-f(x)。 还需要注意，这些公式成立的条件，比如被积函数f需要是连续的，或者至少在积分区间内可积，并且满足一定的可导条件。这可能也是用户需要注意的地方，但用户的问题可能更关注公式本身的应用。 现在，我需要将这些内容组织成多个方法或步骤，避免使用步骤词汇，每个步骤换行。可能需要分点讨论基本公式、复合函数情况、被积函数含x的情况以及变下限的情况。同时，要确保数学公式正确使用行内或独立格式，代码示例如果有的话，但这里可能主要是公式。 最后，生成相关问题需要考虑用户可能的后续疑问，比如如何应用到具体问题，与其他定理的关系，或者更复杂的情况，如多元函数的情况，或者实际应用例子。因此，相关问题可以涉及莱布尼茨规则的应用，变上下限的情况，以及实际应用中的例子。 需要确保回答中没有第一人称，引用内容不集中在末尾，每个步骤分开，并正确应用格式。检查是否有违反用户要求的地方，比如步骤词汇的使用，或者格式错误。</think>变上限积分求导公式是微积分基本定理的重要应用，适用于积分上限为变量的情况。以下是具体规则和应用方法： **基本公式（积分上限为变量x）** 若$F(x)=\int_{a}^{x} f(t) dt$，则导数为$F'(x)=f(x)$。此结果直接来源于微积分第一基本定理，要求$f(t)$在$[a,x]$连续。 **积分上限为函数$u(x)$的情况** 当积分上限为复合函数时，需应用链式法则： 若$F(x)=\int_{a}^{u(x)} f(t) dt$，则导数为： $$F'(x)=f(u(x)) \cdot u'(x)$$ **被积函数含参数x的情况** 若积分表达式为$\int_{a}^{u(x)} f(x,t) dt$，需使用莱布尼茨公式： $$ \frac{d}{dx} \int_{a}^{u(x)} f(x,t) dt = f(x,u(x)) \cdot u'(x) + \int_{a}^{u(x)} \frac{\partial}{\partial x} f(x,t) dt $$ **变下限积分求导规则** 对于积分下限为变量$v(x)$的情况： 若$F(x)=\int_{v(x)}^{b} f(t) dt$，则导数为： $$F'(x)=-f(v(x)) \cdot v'(x)$$ **典型应用示例** 1. 计算$\frac{d}{dx} \int_{0}^{x^2} \sin t \, dt$ 结果为$\sin(x^2) \cdot 2x$ 2. 求导$\frac{d}{dx} \int_{1}^{x} (t^3 + e^{xt}) dt$ 需同时计算边界项和积分项： $$(x^3 + e^{x^2}) \cdot 1 + \int_{1}^{x} t e^{xt} dt$$ ```python # 符号计算示例（使用SymPy库） from sympy import symbols, integrate, diff x, t = symbols('x t') F = integrate(t**2, (t, 0, x)) print(diff(F, x)) # 输出 x² ```
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