柯西收敛原理
基本数列的定义
如果数列 {xn}\{x_n\}{xn} 具有以下特性：对于任意给定的 ε>0\varepsilon>0ε>0,存在正整数 NNN,使得当 n,m>Nn,m>Nn,m>N 时，成立
∣xn−xm∣<ε|x_n-x_m|<\varepsilon∣xn−xm∣<ε
则称数列 {xn}\{x_n\}{xn} 是一个基本数列。
柯西收敛原理
数列 {xn}\{x_n\}{xn} 收敛的充要条件是数列 {xn}\{x_n\}{xn} 是基本数列
柯西收敛原理的证明
先证明必要性
设 {xn}\{x_n\}{xn} 收敛于 aaa ，按照定义， ∀ε>0,∃N,∀n,m>N\forall \varepsilon>0,\exist N,\forall n,m>N∀ε>0,∃N,∀n,m>N:
∣xn−a∣<ε/2,∣xm−a∣<ε/2,|x_n-a|<\varepsilon/2,|x_m-a|<\varepsilon/2,∣xn−a∣<ε/2,∣xm−a∣<ε/2,
所以
∣xn−xm∣⩽∣xm−a∣+∣xn−a∣<ε|x_n-x_m|\leqslant|x_m-a|+|x_n-a|<\varepsilon∣xn−xm∣⩽∣xm−a∣+∣xn−a∣<ε
所以 {xn}\{x_n\}{xn} 是基本数列.
再证明充分性：
先证明 {xn}\{x_n\}{xn} 有界。
对于 ε=1,∃N,∀n>N\varepsilon=1,\exist N,\forall n>Nε=1,∃N,∀n>N：
∣xn−xN+1∣<ϵ=1|x_n-x_{N+1}|<\epsilon=1∣xn−xN+1∣<ϵ=1
令：
M=max{∣x1∣,∣x2∣,⋯ ,∣xN∣,∣xN+1∣+1}M=\max\{|x_1|,|x_2|,\cdots,|x_N|,|x_{N+1}|+1\}M=max{∣x1∣,∣x2∣,⋯,∣xN∣,∣xN+1∣+1}
那么， ∣xn∣<M,n=1,2,3,⋯|x_n|<M,n=1,2,3,\cdots∣xn∣<M,n=1,2,3,⋯，所以 ∣xn∣|x_n|∣xn∣ 有界。
根据 BW(bolzano-Weierstrass) 定理，∣xn∣|x_n|∣xn∣ 存在收敛子列，∣xnk∣|x_{n_k}|∣xnk∣。
设 {xnk}\{x_{n_k}\}{xnk} 收敛于 ξ\xiξ，则∀ϵ,∃k,∀p,q>k\forall\epsilon,\exist k,\forall p,q>k∀ϵ,∃k,∀p,q>k：
因为 {xn}\{x_n\}{xn} 是基本数列，所以 ∀ε>0.∃N,∀n,m>N\forall \varepsilon>0.\exist N,\forall n,m>N∀ε>0.∃N,∀n,m>N：
∣xn−xm∣<ϵ2|x_n-x_m|<\frac{\epsilon}{2}∣xn−xm∣<2ϵ
在上式中取 xm=xnkx_m=x_{n_k}xm=xnk ，其中 kkk 充分大，满足 nk>Nn_k>Nnk>N ，并且令 k→∞k\to\inftyk→∞，于是得到
∣xn−ξ∣⩽ϵ2<ϵ|x_n-\xi|\leqslant \frac{\epsilon}{2}<\epsilon∣xn−ξ∣⩽2ϵ<ϵ
所以 {xn}\{x_n\}{xn} 收敛
2021年9月25日18:24:20
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