证明调和级数发散的方法

调和级数：

$$a_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}$$

Cauchy 收敛准则

对于 $n⩾1$，我们有
a 2 n − a n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + ⋯ + 1 2 n ⩾ 1 2 n + 1 2 n + ⋯ + 1 2 n = 1 2 \begin{aligned} a_{2n}-a_n&=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}\\ &\geqslant\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\cdots+\frac{1}{2n}\\ &=\frac{1}{2} \end{aligned} a2n​−an​​