数学分析(十二)-数项级数1-级数的敛散性2：级数收敛的柯西准则【①、若级数收敛⇒其一般项收敛于0，即lim_{n→∞}uₙ=0；②一般项收敛于0⇏级数收敛】【级数与其部分和数列具有相同的敛散性】

$$u_1+u_2+\cdots +u_n+\cdots (1)$$

称为常数项无穷级数或数项级数 (也常简称级数), 其中 $u_n$ 称为数项级数(1) 的通项或一般项.

$$S_n=\sum _{k=1}^n{u}_k=u_1+u_2+\cdots +u_n,(2)$$

称它为数项级数 (1) 的第 $n$ 个部分和,也简称部分和.

定义 2

若数项级数 (1) 的部分和数列 { Sn}\left\{S_{n}\right\}{ Sn​} 收敛于 $S$ (即$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=S$ ), 则：

• 称数项级数 (1) 收敛,
• 称 $S$ 为数项级数 (1) 的和, 记作
  $$S=u_1+u_2+\cdots +u_n+\cdots \text{ 或 }S=\sum u_n.$$

若 { Sn}\left\{S_{n}\right\}{ Sn​} 是发散数列, 则称数项级数 (1) 发散.

例 1
讨论等比级数 (也称为几何级数)

$$a+aq+a{q}^2+\cdots +a{q}^n+\cdots (3)$$

的敛散性 $(a\ne 0)$.

解
$q\ne 1$ 时, 级数 (3) 的第 $n$ 个部分和

$$S_n=a+aq+\cdots +a{q}^{n-1}=a\cdot \frac{1-q^n}{1-q}.$$

因此,

• (i) 当 $|q|<1$ 时,$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }a\cdot \frac{1-q^n}{1-q}=\frac{a}{1-q}$. 此时级数 (3) 收敛, 其和为 $\frac{a}{1-q}$.
• (ii) 当 $|q|>1$ 时, $\underset{n}{\lim }{S}_n=\infty$, 级数 (3) 发散.
• (iii) 当 $q=1$ 时, $S_n=na$, 级数发散.

当 $q=-1$ 时, $S_{2k}=0,S_{2k+1}=a,k=0,1,2,\cdots$, 级数发散.

总之, $|q|<1$ 时, 级数 (3) 收敛; $|q|⩾1$ 时, 级数 (3) 发散.

例 2
讨论数项级数

$$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}+\cdots (4)$$

的敛散性.

解
级数 (4) 的第 $n$ 个部分和

$$\begin{array}{rl}{S}_n& =\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}\\ & =\left(1-\frac{1}{2}\right)+(\\ & \end{array}$$