一阶线性微分方程的初等积分法例题

变量分离方程与变量变换

可分离变量的微分方程

例
求解方程
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\text{\hspace{1em}(1.1.1)}$$
解
显然$y\ne 0$，则方程(1.1.1)可化为
$$ydy=-xdx$$
两边求积分，得
$$\int ydy=-\int xdx$$
求得通解
$$x^2+y^2=c$$

齐次方程

例
求解方程
$$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\tan \frac{y}{x}\text{\hspace{1em}(1.2.1)}$$
解
令$u=\frac{y}{x}$
则方程(1.2.1)可化为
$$x\frac{du}{dx}+u=u+\tan u$$
整理得到
$$\frac{du}{\tan u}=\frac{dx}{x}$$
两边积分，得到
$$\ln |\sin u|=\ln |x|+c^{\prime }$$
整理得到
$$\sin u=cx\text{\hspace{1em}(1.2.2)}$$
另外，特解$u=0$也被包含在方程(1.2.2)中。
综上，方程的通解为
$$\sin \frac{y}{x}=cx$$

可化为齐次方程的类型

例
$$\frac{dy}{dx}=\frac{x-y+5}{x-y-2}\text{\hspace{1em}(1.3.1)}$$
解
令
$$u=x-y$$
则方程(1.3.1)可化为
$$1-\frac{du}{dx}=\frac{u+5}{u-2}$$
整理后得到
$$-(u-2)du=7dx$$
两边求积分，得到
$$-u^2+4u=14x+c$$
得到通解
$$(x-y{)}^2+4y+10x=c$$
例
$$\frac{dy}{dx}=\frac{x-y+1}{x+y-3}\text{\hspace{1em}(1.3.2)}$$
解
求解方程组：
$$\{\begin{array}{r}x-y+1=0\\ x+y-3=0\end{array}$$
得$x=1,y=2$
令$$\{\begin{array}{r}x=X+1\\ y=Y+2\end{array}$$
则方程$(1.3.2)$可化为：
$$\frac{dY}{dX}=\frac{X-Y}{X+Y}\text{\hspace{1em}(1.3.3)}$$
再令
$$u=\frac{Y}{X}$$
则方程$(1.3.3)$可化为
$$\frac{dX}{X}=\frac{1+u}{1-2u-u^2}du$$
两边求积分，整理，得：
$$X^2(1-2u-u^2)=c^{\prime }$$
把$X,u$重新用$x,y$表示，得：
$$x^2-y^2-2xy+2x+6y=c$$

线性方程与常数变易法

一阶线性齐次微分方程

即 可分离变量的微分方程

一阶线性非齐次微分方程

例
求解方程$$(x+1)\frac{dy}{dx}-ny=e^x(x+1{)}^{n+1}\text{\hspace{1em}(2.1.1)}$$这里$n$为常数.
解

%%%%%%%%%%%%方法一%%%%%%%%%%%

整理方程得到
$$\frac{dy}{dx}=\frac{n}{x+1}y+e^x(x+1{)}^n$$

首先，求解微分方程
$$\frac{dy}{dx}=\frac{n}{x+1}y\text{\hspace{1em}(2.1.2)}$$
不难求得方程(2.1.2)的通解为：
$$y=c_1(x+1{)}^n$$
利用常数变易法
设
$$y=c(x)(x+1{)}^n\text{\hspace{1em}(2.1.3)}$$
是方程(2.1.1)的通解
将方程(2.1.3)代入方程(2.1.1)中，化简得：
$$c^{\prime }(x)=e^x$$
所以$c(x)=e^x+c$
所以方程(2.1.1)的通解为
$$y=(e^x+c)(x+1{)}^n$$
%%%%%%%%%%%%方法二%%%%%%%%%%%
一阶线性非齐次微分方程$\frac{dy}{dx}=P(x)y+Q(x)$的通解为：
$$y=e^{\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{-\int P(x)dx}dx+c)\text{\hspace{1em}(2.1.4)}$$
在本题中，$P(x)=\frac{n}{x+1}$,$Q(x)=e^x(x+1{)}^n$
代入公式，即可得到通解
$$y=(e^x+c)(x+1{)}^n$$

伯努利方程

例
求解方程
$$\frac{dy}{dx}=6\frac{y}{x}-x{y}^2\text{\hspace{1em}(2.2.1)}$$
解
情形一：$y=0$，此时$y=0$为方程的一个特解
情形二：$y\ne 0$
等式两边除以$y^2$，得到：
$$\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}=6\frac{1}{xy}-x\text{\hspace{1em}(2.2.2)}$$
令
$$z=\frac{1}{y}$$
方程(2.2.2)可化为：
$$\frac{dz}{dx}=-\frac{6}{x}z+x$$
这是一个一阶线性非齐次方程，代入公式(2.1.4)，得到：
$$z=\frac{x^2}{8}+\frac{c}{x^6}\text{\hspace{1em}(2.2.3)}$$
将$z$用$y$替换回来，得到：
$$\frac{1}{z}=\frac{x^2}{8}+\frac{c}{x^6}$$

黎卡提方程

例
求解方程$$y^{\prime }=y^2-x^2+1\text{\hspace{1em}(2.3.1)}$$
解
观察得到，$\tilde{y}=x$是方程的一个特解
设$y=x+u$是方程的通解，将$y$带入(2.3.1)中，得：
$$\frac{du}{dx}=2xu+u^2\text{\hspace{1em}(2.3.2)}$$
方程(2.3.2)是一个伯努利方程
情形一：$u=0$，得到特解：$y=x$
清醒二：$u\ne 0$：
方程(2.3.2)等式两端除以$u^2$，得到：
$$\frac{1}{u^2}\frac{du}{dx}=2\frac{x}{u}+1\text{\hspace{1em}(2.3.3)}$$
令$w=\frac{1}{u}$，则方程(2.3.3)可化为：
$$\frac{dw}{dx}=-2xw-1\text{\hspace{1em}(2.3.4)}$$
方程(2.3.4)是一个一阶线性非齐次微分方程，带入公式(2.1.4)，求得
$$w=e^{-x^2}(c-\int e^{x^2}dx)$$
将$w$用$x,y$表示，得到：
$$y=x+\frac{e^{x^2}}{c-\int e^{x^2}dx}$$

恰当方程与积分因子

恰当方程

不定积分法

例
求解方程
$$(e^x+y)dx+(x-2\sin y)dy=0\text{\hspace{1em}(3.1.1)}$$
解
设：$M(x,y)=e^x+y$，$N(x,y)=x-2\sin y$
因为
$$\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=1=\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}$$
所以方程(3.1.1)是恰当方程
设方程的通解为$u(x,y)$
则
$$\frac{\partial u}{\partial x}=e^x+y\text{\hspace{1em}(3.1.2)}$$
$$\frac{\partial u}{\partial y}=x-2\sin y\text{\hspace{1em}(3.1.3)}$$
方程(3.1.2)对 $x$ 求积分，得到：
$$u(x,y)=\int (e^x+y)dx+\psi (y)=e^x+xy+\psi (y)\text{\hspace{1em}(3.1.4)}$$
将(3.1.4)代入(3.1.3)中，得到：
$${\psi }^{\prime }(x)=-2\sin y\text{\hspace{1em}(3.1.5)}$$
对(3.1.5)求积分，得到：
$$\psi (x)=2\cos y\text{\hspace{1em}(3.1.6)}$$
将(3.1.6)代入(3.1.4)中，得到：
$$u(x,y)=e^x+xy+2\cos y$$
所以方程(3.1.1)的通解为：
$$e^x+xy+2\cos y=c$$

分组凑微分法

例
求解方程
$$3x^{2}dx+4y^{3}dy+6x{y}^{2}dx+6x^{2}ydy\text{\hspace{1em}(3.2.1)}$$
解
不难看出方程(3.2.1)可化为：
$$d(x^3+y^4)+d(3x^2{y}^2)$$
即：
$$d(x^3+y^4+3x^2{y}^2)=0$$
所以方程的通解为：
$$x^3+y^4+3x^2{y}^2=c$$

线积分法

例
$$(y\cos x+2x{e}^y)dx+(\sin x+x^2{e}^y+2)dy=0\text{\hspace{1em}(3.3.1)}$$
解
$$\begin{array}{rl}u(x,y)& ={\int }_{(0,0)}^{(x,y)}(y\cos x+2x{e}^y)dx+(\sin x+x^2{e}^y+2)dy\\ & ={\int }_0^{x}2xdx+{\int }_0^y(\sin x+x^2{e}^y+2)dy\\ & =x^2+y\sin x+(x^2-1)e^y+2y\\ & =y\sin x+x^2{e}^y+2y\end{array}$$
所以方程的通解为
$$c=y\sin x+x^2{e}^y+2y$$

积分因子

例
求解微分方程
$$(\frac{y^2}{2}+2y{e}^x)dx+(y+e^x)dy=0\text{\hspace{1em}(3.4.1)}$$
其中$M(x,y)=\frac{y^2}{2}+2y{e}^x$，$N(x,y)=y+e^x$
由于
$$\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=\frac{y+e^x}{y+e^x}=1=\psi (x)$$
仅与$y$无关，所以方程有一个只与$x$有关的积分因子
$$\mu (x)=e^{\int \psi (x)dx}=e^x$$
对方程(3.4.1)两边乘以$e^x$得到：
$$(\frac{y^2}{2}{e}^x+2y{e}^{2x})dx+(y{e}^x+e^{2x})dy\text{\hspace{1em}(3.4.2)}$$
求解恰当方程(3.4.2)，得到通解：
$$\frac{y^2}{2}{e}^x+y{e}^{2x}=c$$