第一定义
设 G 为非空集合,若存在二元运算 ( 称为乘法 ) 满足下列条件:
- 封闭性: ∀ a , b ∈ G , a b ∈ G \forall a, b \in G, a b \in G ∀a,b∈G,ab∈G ;
- 结合律: ∀ a , b , c ∈ G , a ( b c ) = ( a b ) c \forall a, b, c \in G, a(b c)=(a b) c ∀a,b,c∈G,a(bc)=(ab)c ;
- 左单位元: ∃ e ∈ G , ∋ ∀ a ∈ G , e a = a \exists e \in G, \ni \forall a \in G, e a=a ∃e∈G,∋∀a∈G,ea=a
- 左逆元: ∀ a ∈ G , ∃ a − 1 ∈ G , ∋ a − 1 a = e , \forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, \ni a^{-1} a=e, ∀a∈G,∃a−1∈G,∋a−1a=e,
称G关于该运算作成一个群
第二定义
设 G 为非空集合,若存在二元运算 ( 称为乘法 ) 满足下列条件:
- 封闭性: ∀ a , b ∈ G , a b ∈ G \forall a, b \in G, a b \in G ∀a,b∈G,ab∈G
- 结合律: ∀ a , b , c ∈ G , a ( b c ) = ( a b ) c \forall a, b, c \in G, a(b c)=(a b) c ∀a,b,c∈G,a(bc)=(ab)c;
- ∀ a , b ∈ G \forall a, b \in G ∀a,b∈G, 方程 a x = b , y a = b a x=b, y a=b ax=b,ya=b都在G中有解,
称G关于该运算作成一个群
第三定义
设 G 为非空集合,若存在二元运算 ( 称为乘法 ) 满足下列条件:
- 封闭性: ∀ a , b ∈ G , a b ∈ G \forall a, b \in G, a b \in G ∀a,b∈G,ab∈G
- 结合律: ∀ a , b , c ∈ G , a ( b c ) = ( a b ) c \forall a, b, c \in G, a(b c)=(a b) c ∀a,b,c∈G,a(bc)=(ab)c
- 单位元: ∃ e ∈ G , ∋ ∀ a ∈ G , e a = a e = a \exists e \in G, \ni \forall a \in G, e a=a e=a ∃e∈G,∋∀a∈G,ea=ae=a
- 逆元: ∀ a ∈ G , ∃ a − 1 ∈ G , ∋ a a − 1 = a − 1 a = e \forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, \ni aa ^{-1}=a^{-1} a=e ∀a∈G,∃a−1∈G,∋aa−1=a−1a=e
称G关于该运算作成一个群.
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