第一定义
设 G 为非空集合,若存在二元运算 ( 称为乘法 ) 满足下列条件:
- 封闭性: ∀a,b∈G,ab∈G\forall a, b \in G, a b \in G∀a,b∈G,ab∈G ;
- 结合律: ∀a,b,c∈G,a(bc)=(ab)c\forall a, b, c \in G, a(b c)=(a b) c∀a,b,c∈G,a(bc)=(ab)c ;
- 左单位元: ∃e∈G,∋∀a∈G,ea=a\exists e \in G, \ni \forall a \in G, e a=a∃e∈G,∋∀a∈G,ea=a
- 左逆元: ∀a∈G,∃a−1∈G,∋a−1a=e,\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, \ni a^{-1} a=e,∀a∈G,∃a−1∈G,∋a−1a=e,
称G关于该运算作成一个群
第二定义
设 G 为非空集合,若存在二元运算 ( 称为乘法 ) 满足下列条件:
- 封闭性: ∀a,b∈G,ab∈G\forall a, b \in G, a b \in G∀a,b∈G,ab∈G
- 结合律: ∀a,b,c∈G,a(bc)=(ab)c\forall a, b, c \in G, a(b c)=(a b) c∀a,b,c∈G,a(bc)=(ab)c;
- ∀a,b∈G\forall a, b \in G∀a,b∈G, 方程ax=b,ya=ba x=b, y a=bax=b,ya=b都在G中有解,
称G关于该运算作成一个群
第三定义
设 G 为非空集合,若存在二元运算 ( 称为乘法 ) 满足下列条件:
- 封闭性: ∀a,b∈G,ab∈G\forall a, b \in G, a b \in G∀a,b∈G,ab∈G
- 结合律: ∀a,b,c∈G,a(bc)=(ab)c\forall a, b, c \in G, a(b c)=(a b) c∀a,b,c∈G,a(bc)=(ab)c
- 单位元: ∃e∈G,∋∀a∈G,ea=ae=a\exists e \in G, \ni \forall a \in G, e a=a e=a∃e∈G,∋∀a∈G,ea=ae=a
- 逆元: ∀a∈G,∃a−1∈G,∋aa−1=a−1a=e\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, \ni aa ^{-1}=a^{-1} a=e∀a∈G,∃a−1∈G,∋aa−1=a−1a=e
称G关于该运算作成一个群.
扫一扫
9263
到【灌水乐园】发言
