本文系统介绍了代数结构中的核心概念，包括半群、交换半群、幺半群、群及Abel群，并阐述了它们之间的关系和发展脉络。
半群
设 S S S是一个非空集，在 S S S上存在一个二元运算记为“ · ”（乘法）,即对任意 x , y ∈ S x,y\in S x,y∈S，总存在唯一的元 x ⋅ y ∈ S x · y\in S x⋅y∈S与之对应，又该乘法适合结合律，则称S是一个半群
交换半群
一个半群的乘法如果适合交换律，则称这个半群为交换半群。
幺半群
如果在一个半群
S
S
S中存在一个元素
e
e
e，使对一切
a
∈
S
a\in S
a∈S，均有
e
a
=
a
e
=
a
ea=ae=a
ea=ae=a
则称
e
e
e是
S
S
S的幺元（或恒等元，单位元），这样的半群成为幺半群
群
一个幺半群
G
G
G(幺元为
e
e
e)如果似乎和下列条件则称为群：对
G
G
G中任意元
a
a
a，均存在
a
′
a'
a′，使
a
′
a
=
a
a
′
=
e
a'a=aa'=e
a′a=aa′=e
元素
a
′
a'
a′ 称为
a
a
a 的逆元，记为
a
−
1
a^{-1}
a−1
交换群/Abel群/加法群
群 G G G 的运算若适合交换律，则称之为交换群
总结
- 封闭性 + 结合律 = 半群
- 封闭性 + 结合律 + 交换律 = 交换半群
- 封闭性 + 结合律 + 幺元 = 幺半群
- 封闭性 + 结合律 + 幺元 + 逆元 = 群
- 封闭性 + 结合律 + 幺元 + 逆元 + 交换律 = A b e l Abel Abel群
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