一阶线性微分方程的初等积分法

变量分离方程与变量变换

可分离变量的微分方程

$$\frac{dy}{dx}=f(x)\phi (y)\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

其中$f(x),\phi (y)$分别是x与y的已知连续函数

如果$\phi (y)\ne 0$

原式可化为：
$$\frac{dy}{\phi (y)}=f(x)dx$$
两边分别求积分，得：
$$\int \frac{dy}{\phi (y)}=\int f(x)dx$$
用$G(y)$，$F(x)$分别表示$\frac{1}{\varphi (y)}$和$f(x)$的某一个原函数

则方程(1.1)的通解为
$$G(y)=F(x)+C$$
如果存在$y_i$使得$\phi (y_i)=0$，那么$y_i$就是方程(1.1)的解

齐次方程

$$\frac{dy}{dx}=g(\frac{y}{x})\text{\hspace{1em}(1.2)}$$
其中$g(u)$为$u$的连续函数

做变量变换
$$\frac{y}{x}=u$$
即$y=ux$
将上式带入原方程，得：
$$x\frac{du}{dx}+u=g(u)$$
整理，得：
$$\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\cdot (g(u)-u)$$至此，问题转化为(1.1)

可化为齐次方程的类型

$$\frac{dy}{dx}=\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{a_{2}x+b_{2}y+c_2}\text{\hspace{1em}(1.3)}$$
其中$a_i,b_i,c_i,i=1,2$均为常数，且$c_1,c_2$不同时为零.

如果
$$\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|=0$$

设 $$a_1=k{a}_2,b_1=$$