bzoj2818 Gcd（欧拉函数前缀和）

最新推荐文章于 2022-07-31 17:09:39 发布

Icefox_zhx

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分类专栏： bzoj ---------数学--------- 欧拉函数线性素数筛

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本文介绍了一种使用欧拉函数前缀和解决特定数学问题的方法，通过素数筛预处理phi值来高效计算有序对的数量，使得这些对中的两个数除以同一个质数后的最大公约数为1。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

求 $gcd(i,j)==p$ 就是求 $gcd(i/p,j/p)==1$ 。我们发现这就是欧拉函数前缀和。于是我们可以用素数筛处理出phi来做。注意是有序对的个数，所以每个p的贡献应该是 $sum[n/p]*2-1$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 10000010
inline char gc(){
    static char buf[1<<16],*S,*T;
    if(S==T){T=(S=buf)+fread(buf,1,1<<16,stdin);if(S==T) return EOF;}
    return *S++;
}
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
int n,prime[N/10],tot=0,phi[N];
ll sum[N];bool notprime[N];
inline void get_prime(){
    notprime[1]=1;phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(!notprime[i]) prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;prime[j]*i<=n;++j){
            notprime[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[prime[j]*i]=phi[i]*prime[j];break;
            }phi[prime[j]*i]=phi[i]*phi[prime[j]];
        }
    }for(int i=1;i<=n;++i) sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
}
int main(){
//  freopen("a.in","r",stdin);
    n=read();get_prime();ll ans=0;
    for(int i=1;i<=tot;++i) ans+=sum[n/prime[i]];
    printf("%lld\n",ans*2-tot);
    return 0;
}