CF446C DZY Loves Fibonacci Numbers（线段树+数学）

维护一个n个数的数列，两种操作：
1、区间加fibonacci数
2、区间求和%mod

首先要做这个题必须了解菲波那契数的一些基本的性质
1、首先我们是可以通过每个菲波那契数列的前两项O(1)的获得任意一项的数值和任意i项的前缀和。
2、然后就是两个菲波那契数列相加之后依旧是一个菲波那契数列，只是前两项的值变化，分别变为了两个菲波那契数列前两项的和。
3、利用这两个性质之后就是线段树很基本的操作了，用f1,f2懒操作当前要加的数列的前两项的值，sum记录当前区间的总和。

简单的推导：

设$f[1]=1,f[2]=1,f[n]=f[n-1]+f[n-2](n>=3)$
$h[1]=a,h[2]=b,h[n]=h[n-1]+h[n-2](n>=3)$
则我们可以先预处理出f数组。我们写一写h[3],h[4]，发现$h[n]=a*f[n-2]+b*f[n-1]$
$h[n]=h[n-1]+h[n-2]$
$h[n-1]=h[n-2]+h[n-3]$
所以$h[n]=h[n-2]+h[n-2]+h[n-3]$
$=h[n-3]+h[n-4]+h[n-2]+h[n-3]$
$...$
$=\sum\limits_{i=1}^{n-2}h[i]+h[2]$
所以我们有$\sum\limits_{i=1}^{n}h[i]=h[n+2]-h[2]$
性质2很好证明，脑补一下就好了。
于是我们只需要记录区间前两项是谁即可。可以线段树解决。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define mod 1000000009
#define N 300010
inline char gc(){
    static char buf[1<<16],*S,*T;
    if(S==T){T=(S=buf)+fread(buf,1,1<<16,stdin);if(T==S) return EOF;}
    return *S++;
}
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=gc();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=gc();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=gc();
    return x*f;
}
int n,m,a[N],f[N];
struct node{
    int a,b,sum;
}tr[N<<2];
inline void pushup(int p){
    tr[p].sum=(tr[p<<1].sum+tr[p<<1|1].sum%mod;
}
inline void build(int p,int l,int r){
    if(l==r){tr[p].sum=a[l];return;}
    int mid=l+r>>1;build(p<<1,l,mid);build(p<<1|1,mid+1,r);pushup(p);
}
inline int cal(int a,int b,int k){
    if(k==1) return a;
    if(k==2) return b;
    return ((ll)a*f[k-2]%mod+(ll)b*f[k-1]%mod)%mod;
}
inline int getsum(int a,int b,int k){
    if(k==1) return a;
    if(k==2) return (a+b)%mod;
    return (cal(a,b,k+2)-b+mod)%mod;
}
inline void paint(int p,int l,int r,int aa,int bb){
    tr[p].a=(tr[p].a+aa)%mod;tr[p].b=(tr[p].b+bb)%mod;
    tr[p].sum+=getsum(aa,bb,r-l+1);tr[p].sum%=mod;
}
inline void pushdown(int p,int l,int r,int mid){
    if(!tr[p].a) return;
    paint(p<<1,l,mid,tr[p].a,tr[p].b);
    int aa=cal(tr[p].a,tr[p].b,mid+1-l+1),bb=cal(tr[p].a,tr[p].b,mid+2-l+1);
    paint(p<<1|1,mid+1,r,aa,bb);tr[p].a=tr[p].b=0;
}
inline void update(int p,int l,int r,int x,int y){
    if(x<=l&&r<=y){
        paint(p,l,r,f[l-x+1],f[l-x+2]);return;
    }int mid=l+r>>1;pushdown(p,l,r,mid);
    if(x<=mid) update(p<<1,l,mid,x,y);
    if(y>mid) update(p<<1|1,mid+1,r,x,y);pushup(p);
}
inline int qsum(int p,int l,int r,int x,int y){
    if(x<=l&&r<=y) return tr[p].sum;
    int mid=l+r>>1,res=0;pushdown(p,l,r,mid);
    if(x<=mid) res+=qsum(p<<1,l,mid,x,y);
    if(y>mid) res+=qsum(p<<1|1,mid+1,r,x,y);
    return res%mod;
}
int main(){
//  freopen("a.in","r",stdin);
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
    build(1,1,n);f[1]=f[2]=1;
    for(int i=3;i<=n+2;++i) f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%mod;
    while(m--){
        int op=read(),l=read(),r=read();
        if(op==1) update(1,1,n,l,r);
        else printf("%d\n",qsum(1,1,n,l,r));
    }return 0;
}